Determine z in C para que se tenha z^2+5=2 z.

Passo 1

Vamos resolver a equação quadrática $ z^{2} + 5 = 2z $ onde $ z $ é um número complexo. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra que envolvem equações de segundo grau e números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado, deixando a equação igualada a zero. Isso fica assim:
z^2 - 2z + 5 = 0

Passo 3

Agora, temos uma equação quadrática na forma geral $ az^{2} + bz + c = 0 $, onde:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -2 $
  • $ c = 5 $

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que nos permite encontrar as raízes de qualquer equação do segundo grau. A fórmula é:
z = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 5

Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na fórmula:
a

Passo 6

Vamos simplificar passo a passo. Primeiro, o cálculo dentro da raiz:
(-2)^2 = 4
4 times 1 times 5 = 20
4 - 20 = -16
Então, temos:
z = 2 pm raiz-162

Passo 7

A raiz de um número negativo envolve os números complexos. Sabemos que $ \sqrt{-1} = i $, onde $ i $ é a unidade imaginária. Portanto:
raiz-1 = i

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
z = 2 pm 4i2
Podemos dividir cada termo do numerador por 2:
z = 1 pm 2i

Resposta

As soluções para a equação $ z^{2} + 5 = 2z $ são:
z^2 + 5 = 2z

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