Determine
para que se tenha
.
Passo 1
Vamos resolver a equação quadrática $ z^{2} + 5 = 2z $ onde $ z $ é um número complexo. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra que envolvem equações de segundo grau e números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado, deixando a equação igualada a zero. Isso fica assim:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática na forma geral $ az^{2} + bz + c = 0 $, onde:
- $ a = 1 $
- $ b = -2 $
- $ c = 5 $
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que nos permite encontrar as raízes de qualquer equação do segundo grau. A fórmula é:
Passo 5
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro, o cálculo dentro da raiz:
Então, temos:
Passo 7
A raiz de um número negativo envolve os números complexos. Sabemos que $ \sqrt{-1} = i $, onde $ i $ é a unidade imaginária. Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Podemos dividir cada termo do numerador por 2:
Resposta
As soluções para a equação $ z^{2} + 5 = 2z $ são: