O valor médio de uma função
de
variáveis em um conjunto limitado
é
Determine o valor médio de cada uma das funções a seguir.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor médio de f(x,y)=x/(x²+y²) no retângulo D: 1≤x≤2, 0≤y≤1. O assunto é valor médio de função de duas variáveis, e vamos precisar usar a definição fₘₑd = (1/área(D)) ∬_D f(x,y)dA e técnicas de integração iterada.
Passo 2
Primeiro calculo a área de D e monto a integral. Como D é um retângulo com base em x de 1 a 2 e em y de 0 a 1, temos área(D)=1·1=1. Então
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fₘₑd = ∬_D \frac{x}{x²+y²} dA = \int_{x=1}^2 \int_{y=0}^1 \frac{x}{x²+y²} dy ;dx.
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fₘₑd = ∬_D \frac{x}{x²+y²} dA = \int_{x=1}^2 \int_{y=0}^1 \frac{x}{x²+y²} dy ;dx.
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Passo 3
Integrando primeiro em y, uso que
. Assim
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\int_{y=0}^1 \frac{x}{x²+y²} dy = \Bigl[\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} = \arctan\bigl(\tfrac1x\bigr).
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\int_{y=0}^1 \frac{x}{x²+y²} dy = \Bigl[\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} = \arctan\bigl(\tfrac1x\bigr).
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Passo 4
Logo o valor médio reduz-se a
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\int_{1}^{2} \arctan\bigl(\tfrac1x\bigr) dx.
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\int_{1}^{2} \arctan\bigl(\tfrac1x\bigr) dx.
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Passo 5
Para calcular I=
faço u=1/x, dx=−du/u² e depois integração por partes:
– Defino A=arctan(u), dB=−du/u² ⇒ dA=du/(1+u²), B=1/u.
– Então I = A·B − ∫B·dA = \frac{\arctan(u)}u − \int \frac{du}{u(1+u²)}.
– Defino A=arctan(u), dB=−du/u² ⇒ dA=du/(1+u²), B=1/u.
– Então I = A·B − ∫B·dA = \frac{\arctan(u)}u − \int \frac{du}{u(1+u²)}.
Passo 6
A decomposição 1/[u(1+u²)] = 1/u − u/(1+u²) leva a
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\int \frac{du}{u(1+u²)} = \ln|u| − \tfrac12\ln(1+u²).
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\int \frac{du}{u(1+u²)} = \ln|u| − \tfrac12\ln(1+u²).
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Passo 7
Substituindo volta em x (u=1/x) e simplificando, achamos a primitiva
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F(x)=x\arctan\bigl(\tfrac1x\bigr) + \tfrac12\ln(1+x²).
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F(x)=x\arctan\bigl(\tfrac1x\bigr) + \tfrac12\ln(1+x²).
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Passo 8
Avalio de 1 a 2: em x=2 dá 2\arctan(1/2)+\tfrac12\ln5; em x=1 dá \tfracπ4+\tfrac12\ln2. Subtraindo e simplificando o log, fica
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fₘₑd = 2\arctan\bigl(\tfrac12\bigr) - \tfracπ4 + \tfrac12\ln\bigl(\tfrac52\bigr).
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fₘₑd = 2\arctan\bigl(\tfrac12\bigr) - \tfracπ4 + \tfrac12\ln\bigl(\tfrac52\bigr).
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Resposta
O valor médio é