Determine o zero da função, f(x)= raizx-5 x^-x, utilizando o Método da Secante no intervalo [0,2]. Escolha os pontos iniciais de sua preferência em 5 iterações.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma raiz de f(x)=√x–5·x^(–x) no intervalo [0,2] usando o Método da Secante em 5 iterações. Esse conteúdo faz parte de métodos numéricos para encontrar zeros de funções quando não dá para isolar x analiticamente. Vamos precisar da expressão de f(x), da fórmula da Secante e de escolhas iniciais dentro de (0,2] porque x=0 daria problema em x^(–x).

Passo 2

Para aplicar o Método da Secante, usamos a fórmula
xn+1=xn - f(xn)xn - xn-1f(xn)-f(xn-1)
Como f(1.5)≈–1.4977 e f(2)≈0.1642 têm sinais opostos, escolhemos x₀=1.5 e x₁=2.

Passo 3

1ª iteração (n=1):
Calculamos
x2 = 2 - 0.16422-1.50.1642 - (-1.4977) ≈ 1.9506
E f(1.9506)=√1.9506 - 5·1.9506^(–1.9506) ≈ 0.0383.

Passo 4

2ª iteração (n=2):
Usando x₁=2, x₂=1.9506,
x3 = 1.9506 - 0.03831.9506-20.0383 - 0.1642 ≈ 1.9356
E f(1.9356) ≈ –0.00033.

Passo 5

3ª iteração (n=3):
Usando x₂=1.9506, x₃=1.9356,
x4 = 1.9356 - (-0.00033)1.9356 - 1.9506-0.00033 - 0.0383 ≈ 1.93573
E f(1.93573) ≈ 0.00149.

Passo 6

4ª iteração (n=4):
Usando x₃=1.9356, x₄=1.93573,
x5 = 1.93573 - 0.001491.93573 - 1.93560.00149 - (-0.00033) ≈ 1.93562
E f(1.93562) ≈ 0.00115.

Passo 7

5ª iteração (n=5):
Usando x₄=1.93573, x₅=1.93562,
x6 = 1.93562 - 0.001151.93562 - 1.935730.00115 - 0.00149 ≈ 1.93527
E f(1.93527) fica muito próximo de zero.

Resposta

x ≈ 1.93527

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