Determine o zero da função, f(x)=x+ ln (x), utilizando o Método da Secante no intervalo [0.2,2]. Escolha os pontos iniciais de sua preferência em 5 iterações.

Passo 1

Temos a função f(x)=x+ln(x) e queremos achar seu zero (ou seja, f(x)=0) no intervalo [0.2,2] usando o Método da Secante com 5 iterações.

Passo 2

O Método da Secante gera aproximações xn+1 pela fórmula que “une” os pontos (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn)):
xn+1=xn- f(xn)xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
Escolhemos como pontos iniciais x0=0.2 e x1=2.

Passo 3

Iteração 1: calculamos
f(x0)=0.2+ln(0.2)approx-1.40944, f(x1)=2+ln(2)approx2.69315
Então
x2 = 2 - 2.693152-0.22.69315-(-1.40944)approx0.81819

Passo 4

Iteração 2: primeiro avaliamos
f(x2)=0.81819+ln(0.81819)approx0.61805
Aplicando a secante entre x1=2 e x2=0.81819:
x3 = 0.81819 - 0.618050.81819-20.61805-2.69315approx0.46632

Passo 5

Iteração 3: calculamos
f(x3)=0.46632+ln(0.46632)approx-0.29720
Aproximação seguinte é
x4 = 0.46632 - (-0.29720)0.46632-0.81819-0.29720-0.61805approx0.58072

Passo 6

Iteração 4: avaliamos
f(x4)=0.58072+ln(0.58072)approx0.03681
Usando a secante entre x3 e x4:
x5 = 0.58072 - 0.036810.58072-0.466320.03681-(-0.29720)approx0.56807

Passo 7

Iteração 5: primeiro
f(x5)=0.56807+ln(0.56807)approx0.00268
Por fim,
x6 = 0.56807 - 0.002680.56807-0.580720.00268-0.03681 approx0.56713

Resposta

A raiz aproximada após 5 iterações é xapprox0.56713.

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