Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função,
, no intervalo
.
Mostre a função
e faça avaliação da derivada.
Mostre a função
Passo 1
Resumo do problema: queremos achar o zero de f(x)=x–½ sen(x/2) em I=[−1,1] usando método iterativo linear (fixed‐point). Vamos precisar reescrever f(x)=0 na forma x=g(x) e verificar que |g′(x)|<1 em I para garantir convergência.
Passo 2
Escolha de g(x): partindo de f(x)=x–½ sen(x/2)=0, isolamos x em termos de si mesmo. Assim obtemos a função de iteração
Passo 3
Cálculo da derivada de g: usamos regras de derivação de função composta. Temos
Passo 4
Avaliação de |g′(x)| em I: como |cos(x/2)|≤1 para todo x, segue
em todo intervalo [−1,1]. Portanto g é contração em I e o método converge.
Passo 5
Conclusão e raiz: pela definição de g(x) vemos que qualquer ponto fixo satisfaz g(x)=x ⇒ x=½ sen(x/2). A única solução em [−1,1] é x=0. Assim o método iterativo converge para x*=0.
Resposta
g(x)=\tfrac12\sin(x/2), g’(x)=\tfrac14\cos(x/2) e a raiz encontrada é x=0.