Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x-12 sen(x2), no intervalo I=[-1,1].
Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.

Passo 1

Resumo do problema: queremos achar o zero de f(x)=x–½ sen(x/2) em I=[−1,1] usando método iterativo linear (fixed‐point). Vamos precisar reescrever f(x)=0 na forma x=g(x) e verificar que |g′(x)|<1 em I para garantir convergência.

Passo 2

Escolha de g(x): partindo de f(x)=x–½ sen(x/2)=0, isolamos x em termos de si mesmo. Assim obtemos a função de iteração
g(x)=tfrac12sinl(tfrac x2r)

Passo 3

Cálculo da derivada de g: usamos regras de derivação de função composta. Temos
g'(x)=tfrac12cdot ddxsinl(tfrac x2r) =tfrac12cdotcosl(tfrac x2r)cdottfrac12 =tfrac14cosl(tfrac x2r)

Passo 4

Avaliação de |g′(x)| em I: como |cos(x/2)|≤1 para todo x, segue
|g'(x)|=l|tfrac14cosl(tfrac x2r)r|<=tfrac14<1
em todo intervalo [−1,1]. Portanto g é contração em I e o método converge.

Passo 5

Conclusão e raiz: pela definição de g(x) vemos que qualquer ponto fixo satisfaz g(x)=x ⇒ x=½ sen(x/2). A única solução em [−1,1] é x=0. Assim o método iterativo converge para x*=0.

Resposta

g(x)=\tfrac12\sin(x/2), g’(x)=\tfrac14\cos(x/2) e a raiz encontrada é x=0.

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