Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^2+e^3 x-3, no intervalo I=[0,1].
Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.

Passo 1

Estamos buscando a raiz de f(x)=x^2+e^3x-3 no intervalo [0,1] usando o método de ponto fixo. O conteúdo aqui é definir uma iteração xn+1=g(xn) e garantir convergência verificando a derivada de g.

Passo 2

Começamos reescrevendo f(x)=0 como x^2+e^3x=3. Então isolamos x num formato apropriado para ponto fixo:
e^3x=3 - x^2 Longrightarrow 3x=ln(3 - x^2) Longrightarrow x=13ln(3 - x^2)

Passo 3

Assim escolhemos g(x)=13ln(3 - x^2)

Passo 4

Agora derivamos g(x):
g'(x)=ddxl(tfrac13ln(3 - x^2)r)=13cdot-2x3 - x^2= -2x3,(3 - x^2)

Passo 5

No intervalo [0,1] temos x>=0, então
|g'(x)|=2x3(3 - x^2)

Passo 6

Como o numerador cresce e o denominador decresce em [0,1], o máximo ocorre em x=1:
|g'(1)|=23(3-1)=26=tfrac13<1

Passo 7

Portanto g é contração em [0,1] e a sequência converge.

Passo 8

Escolhemos, por exemplo, x0=0.5 e iteramos:
x1=g(0.5)=tfrac13ln(3-0.5^2)approx0.3372,
x2=g(0.3372)approx0.3534,
x3=g(0.3534)approx0.3521,
x4=g(0.3521)approx0.3523

Passo 9

Vemos que a sequência se estabiliza em torno de 0.3523.

Resposta

Definimos g(x)=tfrac13ln(3 - x^2) com derivada g'(x)=-tfrac2x3(3 - x^2), que satisfaz |g'(x)|<=tfrac13<1 em [0,1]. A iteração converge para a raiz aproximada xapprox0.3523.

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