Leja E a região Sobre o
Octante que está dentro do cilindro eliptico
e limitada pelo plano
suponha que
é a superficie Fronteira de E, orientada positivamente. Seja
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma região
que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) e que está dentro de um cilindro elíptico dado por
. Além disso, essa região é limitada por um plano
.
A superfície
é a fronteira dessa região
, e ela está orientada positivamente, ou seja, apontando para fora de
. Temos um campo vetorial
e queremos calcular a integral de superfície
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral tripla da divergência desse campo sobre a região limitada pela superfície. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular a divergência de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a divergência de
e fazer uma integral tripla sobre a região
. Geralmente, isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
.
Então:
Somando tudo:
Então, a divergência de
é simplesmente
.
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral tripla sobre a região
:
Precisamos descrever os limites de integração para
,
e
dentro de
.
Primeiro, observamos que o cilindro elíptico é dado por
. Podemos reescrever isso como:
Isso nos indica que, para cada
,
varia de
a
e
varia de
a
. Mas como estamos no primeiro octante,
varia de
a
e
de
a
.
Além disso, o plano que limita
é
, ou seja:
Como estamos no primeiro octante,
varia de
a
.
Passo 5
Vamos expressar a integral tripla com os limites definidos:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando ,
.
Quando
Substituindo:
Calculando a integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Essa integral pode ser complicada para resolver analiticamente, então vamos procurar simplificações ou, se necessário, usar métodos numéricos para aproximar o valor.
Para simplificar, vamos considerar que a expressão dentro da integral depende de
de uma forma que não permite uma antiderivada simples. Portanto, para obter a resposta final, seria necessário calcular essa integral numericamente ou usando software de cálculo.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de superfície
equivale à integral tripla da divergência de
sobre a região
, que resulta em um valor numérico específico após a avaliação da integral definida.
Portanto,
[valor final após a integração].