Determine o zero da função, f(x)= sen(x)-x^4, utilizando o Método de Newton, no intervalo [0.5,1.5] para 5 iterações com arredondamento padrão.

Passo 1

Estamos procurando o zero da função f(x)=sin(x)-x^4 no intervalo [0,5;1,5] usando o Método de Newton com 5 iterações e arredondamento padrão. Vamos precisar de f(x), de f'(x) e de uma escolha inicial x0 dentro do intervalo.

Passo 2

Derivando e escrevendo a fórmula de Newton:
Temos
f'(x)=cos(x)-4x^3,
e a regra de iteração
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 3

Iteração 1: tomamos x0=1.000000. Calculamos
f(x0)=sin(1)-1^4approx0.8414710-1.000000= -0.1585290,
f'(x0)=cos(1)-4cdot1^3approx0.5403023-4.000000= -3.4596977,
x1=1.000000--0.1585290-3.4596977=0.954175

Passo 4

Iteração 2: com x1=0.954175,
f(x1)=sin(0.954175)-(0.954175)^4approx0.8158510-0.8289330=-0.0130820,
f'(x1)=cos(0.954175)-4cdot(0.954175)^3approx0.5782920-3.4754000=-2.8971080,
x2=0.954175--0.0130820-2.8971080=0.949660

Passo 5

Iteração 3: com x2=0.949660,
f(x2)=sin(0.949660)-(0.949660)^4approx0.8138960-0.8133430=0.0005530,
f'(x2)=cos(0.949660)-4cdot(0.949660)^3approx0.5823370-3.4258200=-2.8434830,
x3=0.949660-0.0005530-2.8434830=0.949854

Passo 6

Iteração 4: com x3=0.949854,
f(x3)=sin(0.949854)-(0.949854)^4approx0.8133910-0.8139870=-0.0005960,
f'(x3)=cos(0.949854)-4cdot(0.949854)^3approx0.5817780-3.4279210=-2.8461430,
x4=0.949854--0.0005960-2.8461430=0.949638

Passo 7

Iteração 5: com x4=0.949638,
f(x4)=sin(0.949638)-(0.949638)^4approx0.8132120-0.8132640=-0.0000520,
f'(x4)=cos(0.949638)-4cdot(0.949638)^3approx0.5819800-3.4255810=-2.8436010,
x5=0.949638--0.0000520-2.8436010=0.949619

Resposta

O zero aproximado após 5 iterações é x\u22480,949619.

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