Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= 2 sen(raizx)-x, no intervalo I=[1.5,3].
Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=2sin(raizx)-x no intervalo [1.5,3] usando método iterativo linear (fixo–ponto). Vamos precisar escolher uma forma g(x) tal que x=g(x) seja equivalente a f(x)=0, e depois analisar g'(x) para garantir convergência.

Passo 2

Da equação 2sin(raizx)-x=0 obtemos a forma de iteração fixa:
x = 2sin(raizx),
logo definimos
g(x)=2sin(raizx)

Passo 3

Agora calculamos a derivada de g:
g'(x)=2cdotcos(raizx)cdot12raizx =cos(raizx)raizx

Passo 4

Finalmente avaliamos o módulo da derivada em [1.5,3]. Como raizxin[raiz1.5,raiz3]approx[1.225,1.732], temos
|g'(x)|=|cos(raizx)|raizx <=|cos(1.225)|raiz1.5 approx0.3351.225approx0.273<1

Passo 5

Como |g'(x)|<1 em todo o intervalo, a iteração converge a solução de f(x)=0.

Resposta

Escolhemos g(x)=2\sin(\sqrt{x}), com g’(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} e verificamos que |g’(x)|≤0.273<1 em [1.5,3], garantindo convergência do método.

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