Determine os zeros da função
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os zeros da função f(x)=3x4−8x3+4x, ou seja, os valores de x para os quais f(x)=0. Isso envolve polinômios de grau 4, fatoração e resolução de equações polinomiais.
Passo 2
Vamos começar extraindo o fator comum x de f(x). Sabendo que todo termo tem pelo menos um x, escrevemos
Dessa fatoração, um zero é x=0. Agora precisamos resolver a equação
Passo 3
Pela Regra de Ruffini (teorema das raízes racionais), os candidatos a raízes racionais são
. Testando todos, nenhum zera o polinômio, logo não há raízes racionais simples.
Passo 4
Para encontrar a raiz real, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário e bissecção: avaliamos em x=2 (resultado negativo) e em x=3 (positivo), concluindo que existe uma raiz em (2,3). Refino por bissecção ou Newton dá
Passo 5
Com essa raiz aproximada, dividimos o polinômio cúbico por
(síntese de divisão) e obtemos o polinômio quadrático
Passo 6
Por fim, usamos a fórmula de Bhaskara em
Resposta
Os zeros de f(x) são: x=0, x≈2,446, x≈0,853 e x≈-0,632.