Determine os zeros da função f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 4x.

Passo 1

O enunciado pede para achar os zeros da função f(x)=3x4−8x3+4x, ou seja, os valores de x para os quais f(x)=0. Isso envolve polinômios de grau 4, fatoração e resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Vamos começar extraindo o fator comum x de f(x). Sabendo que todo termo tem pelo menos um x, escrevemos
f(x)=3x^4-8x^3+4x = x,(3x^3 -8x^2 +4)
Dessa fatoração, um zero é x=0. Agora precisamos resolver a equação
3x^3 -8x^2 +4 =0

Passo 3

Pela Regra de Ruffini (teorema das raízes racionais), os candidatos a raízes racionais são pm1,pm2,pm4,pmtfrac13,pmtfrac23,pmtfrac43. Testando todos, nenhum zera o polinômio, logo não há raízes racionais simples.

Passo 4

Para encontrar a raiz real, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário e bissecção: avaliamos em x=2 (resultado negativo) e em x=3 (positivo), concluindo que existe uma raiz em (2,3). Refino por bissecção ou Newton dá
x1approx2,446

Passo 5

Com essa raiz aproximada, dividimos o polinômio cúbico por x-2,446 (síntese de divisão) e obtemos o polinômio quadrático
3x^2 -0,662x -1,619approx0

Passo 6

Por fim, usamos a fórmula de Bhaskara em
3x^2 -0,662x -1,619=0:
x=0,662pmraiz(−0,662)^2 -4cdot3cdot(-1,619)2cdot3approx0,853 ou -0,632

Resposta

Os zeros de f(x) são: x=0, x≈2,446, x≈0,853 e x≈-0,632.

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