Exercs. 7-8; Calcule partial r / partial u, partial r / partial v e partial r / partial t.
r=w^2 cos z ; w=u^2 v t, z=u t^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de r em relação a u, v e t, onde
r = w^2 ,cos z,
com as variáveis auxiliares
w = u^2 v t,
z = u t^2
Esse conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, derivamos r em relação a cada variável intermediária:
partial rpartial w = 2w ,cos z,
partial rpartial z = -w^2 ,sin z
Aqui usamos a derivada de w^2 e de cos z.

Passo 3

Agora, encontramos as derivadas parciais de w e z em relação a u, v e t:
partial wpartial u = 2u v t, partial wpartial v = u^2 t, partial wpartial t = u^2 v,
partial zpartial u = t^2, partial zpartial v = 0, partial zpartial t = 2u t
Usamos potências e produto de variáveis.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para partial r/partial u:
partial rpartial u = partial rpartial wpartial wpartial u + partial rpartial zpartial zpartial u = (2wcos z)(2u v t) + (-w^2sin z)(t^2)
Substituindo w = u^2 v t e z = u t^2 se quiser expressar em u,v,t.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia para partial r/partial v:
partial rpartial v = partial rpartial wpartial wpartial v + partial rpartial zpartial zpartial v = (2wcos z)(u^2 t) + (-w^2sin z)(0) = 2u^2 t,wcos z

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia para partial r/partial t:
partial rpartial t = partial rpartial wpartial wpartial t + partial rpartial zpartial zpartial t = (2wcos z)(u^2 v) + (-w^2sin z)(2u t)

Resposta

w = u^2 v t,
com z = u t^2 e .

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