Determine os zeros reais das funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os zeros reais da função
Informações dadas que são relevantes:
Nada mais é fornecido; a resolução começa a partir dessa expressão.
Passo 2
Observação útil e técnica que facilita muito o trabalho: os expoentes aparecem apenas em
e
. Isso sugere fazer uma substituição para transformar a equação numérica em uma equação quadrática mais simples. Definimos a variável
Aqui explico:
é
, então
é um número real não negativo (porque
para todo
). Com essa substituição, a equação
fica uma equação em
.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos a equação quadrática
Agora vou resolver essa equação quadrática. Uma maneira rápida é reconhecer que é um quadrado perfeito, pois
Outra maneira é calcular o discriminante
da quadrática
com
:
Discriminante zero significa que a quadrática tem uma raiz real dupla. Portanto a única solução para
é
Passo 4
Voltamos à variável original via
. Como
, temos
Para resolver
lembramos que a raiz quadrada de
tem duas soluções reais (positiva e negativa). Portanto
ou seja,
e
.
Passo 5
É importante comentar sobre multiplicidade das raízes (útil na prova): como a quadrática em
teve raiz dupla
, isso significa que a fatoração do polinômio original é
Para verificar, podemos expandir usando
com
e
:
que é exatamente
. Da fatoração vemos que cada uma das raízes
e
aparece com multiplicidade
(cada uma é raiz dupla).