Determine os zeros reais das funções:
f(x)=x^{4}-4 x^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar os zeros reais da função
f(x)=x^{4}-4x^{2}+4.
Informações dadas que são relevantes:
\text{(i) }f(x)\text{ é um polinômio de grau }4.éô
\text{(ii) Queremos todos os valores reais de }x\text{ tais que }f(x)=0.
Nada mais é fornecido; a resolução começa a partir dessa expressão.

Passo 2

Observação útil e técnica que facilita muito o trabalho: os expoentes aparecem apenas em x^{4} e x^{2}. Isso sugere fazer uma substituição para transformar a equação numérica em uma equação quadrática mais simples. Definimos a variável
y = x^{2}.
Aqui explico: y é x^{2}, então y é um número real não negativo (porque x^{2}\ge 0 para todo x). Com essa substituição, a equação f(x)=0 fica uma equação em y.

Passo 3

Substituindo y=x^{2} em f(x)=0 obtemos a equação quadrática
y^{2}-4y+4=0.
Agora vou resolver essa equação quadrática. Uma maneira rápida é reconhecer que é um quadrado perfeito, pois
y^{2}-4y+4=(y-2)^{2}.
Outra maneira é calcular o discriminante \Delta da quadrática ay^{2}+by+c com a=1,\;b=-4,\;c=4:
\Delta=b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot4 = 16-16 = 0.
Discriminante zero significa que a quadrática tem uma raiz real dupla. Portanto a única solução para y é
y=2.

Passo 4

Voltamos à variável original via y=x^{2}. Como y=2, temos
x^{2}=2.
Para resolver x^{2}=2 lembramos que a raiz quadrada de 2 tem duas soluções reais (positiva e negativa). Portanto
x=\pm\sqrt{2},
ou seja, x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}.

Passo 5

É importante comentar sobre multiplicidade das raízes (útil na prova): como a quadrática em y teve raiz dupla y=2, isso significa que a fatoração do polinômio original é
f(x)=(x^{2}-2)^{2}.
Para verificar, podemos expandir usando (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} com a=x^{2} e b=2:
(x^{2}-2)^{2}=x^{4}-4x^{2}+4,
que é exatamente f(x). Da fatoração vemos que cada uma das raízes x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2} aparece com multiplicidade 2 (cada uma é raiz dupla).

Resposta

x = -\sqrt{2}
x = \sqrt{2}

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