Determine os zeros reais das funções:
Passo 1
O problema pede para determinar os zeros reais da função
Informações dadas: a função é um polinômio quadrático (grau 2) com coeficientes explícitos. A pergunta é: quais os valores de
tais que
?
Passo 2
Vamos identificar os coeficientes da forma padrão de uma equação quadrática. A forma padrão é
onde
,
e
são números dados. Aqui, comparando com
, temos:
Explicando:
é o coeficiente que multiplica
,
é o coeficiente que multiplica
e
é o termo independente. Identificá-los direito é o primeiro passo antes de aplicar fórmulas.
Passo 3
Método padrão: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes de
por
onde
(o discriminante) é definido por
Interpretação do discriminante: se
existem duas raízes reais distintas; se
existe uma raiz real dupla; se
não há raízes reais (são complexas). Isso nos diz quantas soluções reais esperar.
Passo 4
Calculemos o discriminante
com os valores identificados:
Agora desenvolvendo as potências e multiplicações:
e
Portanto
Passo 5
Como
, concluímos que a equação tem exatamente uma raiz real, com multiplicidade 2 (ou seja, uma raiz dupla). Agora vamos calcular essa raiz usando a fórmula.
Passo 6
Aplicando a fórmula de Bhaskara com
:
Substituindo
e
:
Então a raiz real é
.
Passo 7
Para reforçar e mostrar outra maneira (útil na prova): podemos completar o quadrado em
e ver que ela é um quadrado perfeito. Partimos de
A técnica de completar quadrado: pegue o termo linear
, divida o coeficiente por
e faça o quadrado:
Isso mostra que
Logo
equivale a
o que dá novamente
como raiz dupla. Essa verificação confirma o resultado da Bhaskara e é um método elegante quando
.
Passo 8
Observação numérica e formas equivalentes:
é igual a
. Ambas as formas aparecem com frequência; em provas normalmente
é a forma preferida porque não deixa raiz no denominador.