Determine os zeros reais das funções:
f(x)=x^{2}-\sqrt{2} x+\frac{1}{2}

Passo 1

O problema pede para determinar os zeros reais da função
f(x)=x^{2}-\sqrt{2}\,x+\tfrac{1}{2}.
Informações dadas: a função é um polinômio quadrático (grau 2) com coeficientes explícitos. A pergunta é: quais os valores de x tais que f(x)=0?

Passo 2

Vamos identificar os coeficientes da forma padrão de uma equação quadrática. A forma padrão é
ax^{2}+bx+c=0,
onde a, b e c são números dados. Aqui, comparando com f(x)=0, temos:
a=1,\qquad b=-\sqrt{2},\qquad c=\tfrac{1}{2}.
Explicando: a é o coeficiente que multiplica x^{2}, b é o coeficiente que multiplica x e c é o termo independente. Identificá-los direito é o primeiro passo antes de aplicar fórmulas.

Passo 3

Método padrão: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes de ax^{2}+bx+c=0 por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (o discriminante) é definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
Interpretação do discriminante: se \Delta>0 existem duas raízes reais distintas; se \Delta=0 existe uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais (são complexas). Isso nos diz quantas soluções reais esperar.

Passo 4

Calculemos o discriminante \Delta com os valores identificados:
\Delta = b^{2}-4ac = \bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{2}-4\cdot 1\cdot \tfrac{1}{2}.
Agora desenvolvendo as potências e multiplicações:
\bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2,
e
4\cdot 1\cdot \tfrac{1}{2}=4\cdot \tfrac{1}{2}=2.
Portanto
\Delta=2-2=0.

Passo 5

Como \Delta=0, concluímos que a equação tem exatamente uma raiz real, com multiplicidade 2 (ou seja, uma raiz dupla). Agora vamos calcular essa raiz usando a fórmula.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Bhaskara com \Delta=0:
x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-b}{2a}.
Substituindo b=-\sqrt{2} e a=1:
x=\frac{-(-\sqrt{2})}{2\cdot 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então a raiz real é x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Para reforçar e mostrar outra maneira (útil na prova): podemos completar o quadrado em f(x) e ver que ela é um quadrado perfeito. Partimos de
f(x)=x^{2}-\sqrt{2}\,x+\tfrac{1}{2}.
A técnica de completar quadrado: pegue o termo linear -\sqrt{2}\,x, divida o coeficiente por 2 e faça o quadrado:
\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
Isso mostra que
x^{2}-\sqrt{2}\,x+\tfrac{1}{2}=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.
Logo f(x)=0 equivale a
\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=0,
o que dá novamente x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} como raiz dupla. Essa verificação confirma o resultado da Bhaskara e é um método elegante quando \Delta=0.

Passo 8

Observação numérica e formas equivalentes: \dfrac{\sqrt{2}}{2} é igual a \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Ambas as formas aparecem com frequência; em provas normalmente \dfrac{\sqrt{2}}{2} é a forma preferida porque não deixa raiz no denominador.

Resposta

\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2} (raiz dupla)

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