Determine zx e zy derivando implicitamente a equação: x^2 sen(y^3)+x e^3 z-cos (z^2)= 3 y-6 z+8

Passo 1

Temos a equação implícita
x^2sin(y^3) + x e^3z - cos(z^2) = 3y - 6z + 8
O conteúdo é derivação implícita de função de duas variáveis, usando regra da cadeia e derivadas de sen, cos e exp. Vamos precisar computar partial/partial x e partial/partial y, tratar z=z(x,y) e aplicar a regra da cadeia nas partes que envolvem z.

Passo 2

Derivando em relação a x (mantendo y constante), temos
partialpartial xl(x^2sin(y^3)r) + partialpartial xl(x e^3zr) - partialpartial xl(cos(z^2)r) = partialpartial x(3y - 6z + 8)
Calculando termo a termo:
  • partialx[x^2sin(y^3)] = 2xsin(y^3).
  • partialx[x e^3z] = e^3z + xcdot3e^3zzx pela regra do produto e cadeia.
  • partialx[-cos(z^2)] = -[-sin(z^2)cdot2z,zx] = 2zsin(z^2),zx.
  • partialx(3y-6z+8) = -6zx.
    Somando tudo:
2xsin(y^3) + e^3z + 3x e^3zzx + 2zsin(z^2)zx = -6zx

Passo 3

Agrupando os termos que contém zx e isolando-o, obtemos:
2xsin(y^3) + e^3z + (3x e^3z + 2zsin(z^2) + 6)zx = 0
Logo
zx = -2xsin(y^3) + e^3z3x e^3z + 2zsin(z^2) + 6

Passo 4

Derivando agora em relação a y (mantendo x constante), temos
partialpartial yl(x^2sin(y^3)r) + partialpartial yl(x e^3zr) - partialpartial yl(cos(z^2)r) = partialpartial y(3y - 6z + 8)
Calculando:
  • partialy[x^2sin(y^3)] = x^2cdotcos(y^3)cdot3y^2 = 3x^2y^2cos(y^3).
  • partialy[x e^3z] = xcdot3e^3zzy.
  • partialy[-cos(z^2)] = 2zsin(z^2)zy.
  • partialy(3y-6z+8) = 3 - 6zy.
    Logo
3x^2y^2cos(y^3) + (3x e^3z + 2zsin(z^2))zy = 3 - 6zy

Passo 5

Agrupando os termos com zy e isolando-o, fica:
3x^2y^2cos(y^3) + (3x e^3z + 2zsin(z^2) + 6)zy = 3
Portanto
zy = 3 - 3x^2y^2cos(y^3)3x e^3z + 2zsin(z^2) + 6

Resposta

zx= -dfrac2xsin(y^3) + e^3z3x e^3z + 2zsin(z^2) + 6, zy= dfrac3 - 3x^2y^2cos(y^3)3x e^3z + 2zsin(z^2) + 6.

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