Encontre
diferenciando implicitamente.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar
usando diferenciação implícita para a função . Isso envolve cálculo de derivadas e funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação para facilitar a diferenciação implícita. Sabemos que é equivalente a
. Isso nos ajuda a trabalhar com funções trigonométricas de forma mais simples.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, precisamos aplicar a regra da cadeia na derivação.
Passo 4
Diferenciando cada lado:
- Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a é . - Do lado direito, a derivada de
em relação a é simplesmente .
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 6
Queremos expressar
apenas em termos de
. Sabemos que
. Podemos usar a identidade trigonométrica
para encontrar
:
Passo 7
Substituindo
na expressão da derivada:
Resposta
Portanto, a derivada
é: