Encontre d y / d x diferenciando implicitamente.
y=arcsen(2 x+1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar usando diferenciação implícita para a função . Isso envolve cálculo de derivadas e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação para facilitar a diferenciação implícita. Sabemos que é equivalente a . Isso nos ajuda a trabalhar com funções trigonométricas de forma mais simples.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a ddx [sin(y)] = ddx [2x + 1] . Lembrando que é uma função de , precisamos aplicar a regra da cadeia na derivação.

Passo 4

Diferenciando cada lado:
  • Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia: a derivada de cos(y) cdot dydx = 2 em relação a é .
  • Do lado direito, a derivada de em relação a é simplesmente .
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar dydx = 2cos(y) . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 6

Queremos expressar cos(y) = raiz1 - sin^2(y) = raiz1 - (2x + 1)^2 apenas em termos de . Sabemos que . Podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar :

Passo 7

Substituindo dydx = 2raiz1 - (2x + 1)^2 na expressão da derivada:

Resposta

Portanto, a derivada dydx = 2raiz1 - (2x + 1)^2 é:

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