Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico da função abaixo.
f(x, y)=ln (y-x)

Passo 1

O enunciado pede para a gente desenhar (1) o domínio de f(x,y)=ln(y-x), (2) as curvas de nível e (3) o gráfico da superfície. Vamos usar conhecimentos de domínio de funções logarítmicas em duas variáveis, de curvas de nível e de esboço de superfícies em R^3.

Passo 2

Como ln(cdot) só está definido para argumentos positivos, exigimos
y - x > 0
Logo o domínio é
D = (x,y)inR^2 : y > x
Geometricamente é a região acima da reta y=x, sem incluir a reta.

Passo 3

As curvas de nível são definidas por f(x,y)=C. Temos
ln(y - x) = C
que implica
y - x = e^C = k > 0
Então cada curva de nível é a reta
y = x + k,
paralela a y=x, deslocada de k=e^C. Para vários valores de C (por exemplo C=-1,0,1) desenhamos retas igualmente espaçadas.

Passo 4

Para esboçar o gráfico em R^3, consideramos a superfície
z = ln(y - x)
Ela tende a -infty quando y-xto0^+ (isto é, ao nos aproximarmos da reta y=x), e cresce lentamente conforme y-x aumenta. O formato é de um “platô” que sobe devagar para valores maiores de y-x e desce muito rápido (até -infty) perto da fronteira do domínio.

Passo 5

No esboço 3D, as curvas de nível no plano xy geram “contornos” na superfície; cada reta y=x+e^C corresponde a uma curva de nível à altura z=C. Assim obtemos uma superfície logarítmica sobre o semiplano y>x.

Resposta

Domínio: o conjunto (x,y):y>x. Curvas de nível: retas y=x+e^C para cada nível C. Gráfico: superfície z=ln(y-x) que vai a -infty ao se aproximar de y=x e cresce lentamente para cima à medida que y-x aumenta.

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