Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico da função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para a gente desenhar (1) o domínio de
, (2) as curvas de nível e (3) o gráfico da superfície. Vamos usar conhecimentos de domínio de funções logarítmicas em duas variáveis, de curvas de nível e de esboço de superfícies em
.
Passo 2
Como
só está definido para argumentos positivos, exigimos
Logo o domínio é
Geometricamente é a região acima da reta
, sem incluir a reta.
Passo 3
As curvas de nível são definidas por
. Temos
que implica
Então cada curva de nível é a reta
paralela a
, deslocada de
. Para vários valores de
(por exemplo
) desenhamos retas igualmente espaçadas.
Passo 4
Para esboçar o gráfico em
, consideramos a superfície
Ela tende a
quando
(isto é, ao nos aproximarmos da reta
), e cresce lentamente conforme
aumenta. O formato é de um “platô” que sobe devagar para valores maiores de
e desce muito rápido (até
) perto da fronteira do domínio.
Passo 5
No esboço 3D, as curvas de nível no plano
geram “contornos” na superfície; cada reta
corresponde a uma curva de nível à altura
. Assim obtemos uma superfície logarítmica sobre o semiplano
.
Resposta
Domínio: o conjunto
. Curvas de nível: retas
para cada nível
. Gráfico: superfície
que vai a
ao se aproximar de
e cresce lentamente para cima à medida que
aumenta.