Determine(sem resolver o problema): intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadoe mente existe.
(5) d yd x=-a x+b yb x+c y

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydx = -a x + b yb x + c y, y(x0) = y0,
e pede o intervalo em que a solução existe, “sem resolver” a EDO. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) para EDOs de primeira ordem, que exige que a função
f(x,y) = -a x + b yb x + c y
seja contínua em y e Lipschitz em y numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Identificamos onde f(x,y) deixa de ser contínua: o denominador
b x + c y = 0
Esse é o conjunto de singularidade da EDO. Logo, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, o ponto inicial (x0,y0) deve satisfazer
b x0 + c y0 neq 0

Passo 3

Como f(x,y) é uma razão de funções lineares, ela é contínua em qualquer região fechada e limitada que não intersecte a reta b x + c y =0. Além disso, em tal região, partial f/partial y também é contínua, garantindo Lipschitz em y. Portanto, existe de<a>0 tal que em
R = (x,y): |x - x0| <= de<a,; |y - y0| <= M
com b x + c y neq 0 em R, temos existência e unicidade da solução.

Passo 4

O maximal intervalo de existência em x é aquele em que a solução y(x) não faz com que b x + c y(x)=0. Como não resolvemos, vamos caracterizar esse intervalo por ser o maior intervalo centrado em x0 até que a solução atinja a reta singular.

Passo 5

Logo, existe de<a>0 tal que a solução única y(x) está definida para
xin (,x0-de<a,;x0+de<a,),
onde de<a é o menor valor positivo para o qual, na fronteira de (x0-de<a,x0+de<a), a condição b x + c y(x)=0 seria violada.

Resposta

A solução do problema de valor inicial existe e é única num intervalo
l(x0-de<a,;x0+de<ar)
tal que em toda essa região a reta b x + c y=0 não seja atingida, isto é, desde que
b x0+c y0neq0 e b x + c y(x)neq0 forall xin(x0-de<a,x0+de<a)

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