Determine(sem resolver o problema): intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadoe mente existe.
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Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede o intervalo em que a solução existe, “sem resolver” a EDO. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindel"of) para EDOs de primeira ordem, que exige que a função
seja contínua em
e Lipschitz em
numa vizinhança do ponto inicial.
Passo 2
Identificamos onde
deixa de ser contínua: o denominador
Esse é o conjunto de singularidade da EDO. Logo, para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, o ponto inicial
deve satisfazer
Passo 3
Como
é uma razão de funções lineares, ela é contínua em qualquer região fechada e limitada que não intersecte a reta
. Além disso, em tal região,
também é contínua, garantindo Lipschitz em
. Portanto, existe
tal que em
com
em
, temos existência e unicidade da solução.
Passo 4
O maximal intervalo de existência em
é aquele em que a solução
não faz com que
. Como não resolvemos, vamos caracterizar esse intervalo por ser o maior intervalo centrado em
até que a solução atinja a reta singular.
Passo 5
Logo, existe
tal que a solução única
está definida para
onde
é o menor valor positivo para o qual, na fronteira de
, a condição
seria violada.
Resposta
A solução do problema de valor inicial existe e é única num intervalo
tal que em toda essa região a reta
não seja atingida, isto é, desde que