Nos exercícios a seguir, resolva as equações diferenciais aplicando uma substituição algébrica apropriada.
(x-y) d xd y+x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x - y),dxdy + x = 0
Reescrevendo, temos
dxdy = -,x,x - y,
Note que o lado direito é função de u = xy (é homogênea de grau zero), então a técnica é fazer a substituição algébrica apropriada para transformar em equação separável.

Passo 2

Definimos
u = xy,
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x = u,y e dxdy = u + y,dudy
Substituindo em dxdy = -xx - y, obtemos
u + y,dudy = -,u,y,u,y - y, = -,u,u - 1,

Passo 3

Isolando dudy, temos
y,dudy = -,u,u - 1, ;-; u = -,u + u(u-1),u-1, = -,u^2,u - 1,,
ou seja
dudy = -,u^2,y,(u - 1),
Agora é separável:
u - 1,u^2,,du = -,1y,dy

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral l(1u - 1u^2r),du = integral -,1y,dy ;;Longrightarrow;; ln|u| + 1u = -,ln|y| + C
Voltando a u = xy, isso dá
ln!l|xyr| + yx = -ln|y| + C ;;Longrightarrow;; ln|x| + yx = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

boxedln|x| + yx = C

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