Seja n>4 um número natural, vamos provar que n é composto se e somente se, n é divisível por ( n-2 )!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro natural n>4, temos
n é composto Long<=ftrightarrow n mid (n-2)! é
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Wilson (que trata de (p-1)!bmod p para p primo) e argumentos elementares sobre divisores de números compostos.

Passo 2

Suponha que n seja primo. Pelo Teorema de Wilson, para n primo vale
(n-1)!equiv -1pmod n
Mas (n-1)!=(n-1),(n-2)!. Como n-1equiv -1pmod n, segue
(n-1)!equiv (n-1),(n-2)! equiv (-1),(n-2)! equiv -,(n-2)!pmod n
Comparando com (n-1)!equiv -1pmod n, obtemos
-,(n-2)!equiv -1pmod n Longrightarrow (n-2)!equiv 1pmod n
Logo n não divide (n-2)!. Portanto, se n é primo, então nnotmid (n-2)!.

Passo 3

Agora suponha que n seja composto e n>4. Então existem inteiros a e b tais que
1 < a <= b < n e ab=n
Como n>4, não é possível que a=1 nem que b=n, e também não pode ocorrer que b=n-1 (pois daí a seria maior que 1 e ab=n ultrapassaria n). Consequentemente
2 <= a <= b <= n-2
Isso implica que tanto a quanto b aparecem como fatores em (n-2)!. Em particular,
ab = n divide (n-2)!
Logo nmid (n-2)!.

Passo 4

Reunindo os dois casos:
  • Se n é primo, então nnotmid (n-2)!.
  • Se n é composto e n>4, então nmid (n-2)!.
Isto mostra exatamente a equivalência desejada.

Resposta

Para todo inteiro natural n>4,
n é composto Long<=ftrightarrow n mid (n-2)! é

Exercícios relacionados