Seja
um número natural, vamos provar que n é composto se e somente se, n é divisível por (
)!
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro natural
, temos
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Wilson (que trata de
para
primo) e argumentos elementares sobre divisores de números compostos.
Passo 2
Suponha que
seja primo. Pelo Teorema de Wilson, para
primo vale
Mas
. Como
, segue
Comparando com
, obtemos
Logo
não divide
. Portanto, se
é primo, então
.
Passo 3
Agora suponha que
seja composto e
. Então existem inteiros
e
tais que
Como
, não é possível que
nem que
, e também não pode ocorrer que
(pois daí
seria maior que
e
ultrapassaria
). Consequentemente
Isso implica que tanto
quanto
aparecem como fatores em
. Em particular,
Logo
.
Passo 4
Reunindo os dois casos:
- Se
é primo, então . - Se
é composto e , então .
Isto mostra exatamente a equivalência desejada.
Resposta
Para todo inteiro natural
,