determine(sem resolver o problema): intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadoe mente existe.
12. d yd t=(cotg t) y1+y

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydt = (cot t),y1+y,
e pede que a gente determine, sem resolver, em que intervalo de t a solução existe (e é única) segundo o Teorema de Existência e Unicidade de Equações Diferenciais Ordinárias.

Passo 2

Identificamos a função que define a EDO como
f(t,y) = cot t1+y,y
Para aplicar o teorema, precisamos que f e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança de (t0,y0).

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(t,y) = partialpartial yl(cot t1+y,yr) = cot t;(1+y)-y(1+y)^2 = cot t(1+y)^2
Ambas as funções f(t,y) e partial f/partial y são contínuas sempre que
  1. cot t é contínua, isto é, tneq kpi para kinZ,
  2. o denominador 1+yneq0, ou seja, yneq -1.

Passo 4

Logo, dado um ponto inicial (t0,y0) com t0neq kpi e y0neq -1, existe um retângulo onde t varia num intervalo máximo que não cruza nenhum kpi. Esses intervalos são da forma
(kpi,,(k+1)pi), kinZ
Dentro de qualquer um desses intervalos de t (e evitando y=-1), a solução existe e é única.

Resposta

A solução do problema de valor inicial existe (e é única) para
tinl(kpi,,(k+1)pir), kinZ,
desde que o valor inicial satisfaça t0neq kpi e y0neq -1.

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