determine(sem resolver o problema): intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dadoe mente existe.
12.
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Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede que a gente determine, sem resolver, em que intervalo de
a solução existe (e é única) segundo o Teorema de Existência e Unicidade de Equações Diferenciais Ordinárias.
Passo 2
Identificamos a função que define a EDO como
Para aplicar o teorema, precisamos que
e
sejam contínuas numa vizinhança de
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Ambas as funções
e
são contínuas sempre que
-
é contínua, isto é, para , - o denominador
, ou seja, .
Passo 4
Logo, dado um ponto inicial
com
e
, existe um retângulo onde
varia num intervalo máximo que não cruza nenhum
. Esses intervalos são da forma
Dentro de qualquer um desses intervalos de
(e evitando
), a solução existe e é única.
Resposta
A solução do problema de valor inicial existe (e é única) para
desde que o valor inicial satisfaça
e
.