[23] Seja
um polinômio de grau 3 .
(a) Determine para quais intervalos o polinômio é crescente ou decrescente.
(b) Determine para quais valores de
a equação
tem exatamente três soluções reais.
(a) Determine para quais intervalos o polinômio é crescente ou decrescente.
(b) Determine para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede:
– (a) em quais intervalos ele é crescente ou decrescente;
– (b) para quais valores de a equação
tem exatamente três soluções reais.
Vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade e análise de máximos e mínimos locais para escolher .
– (a) em quais intervalos ele é crescente ou decrescente;
– (b) para quais valores de
Vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade e análise de máximos e mínimos locais para escolher
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
Passo 3
Os zeros de
são
e
. Como
é um parabola voltada para cima (coeficiente de
positivo), temos:
– em
e em
, logo
é crescente nesses intervalos.
– em
, logo
é decrescente nesse intervalo.
–
–
Passo 4
Calculemos os valores de
nos pontos críticos para identificar máximo e mínimo locais:
Como
cresce antes de
e decresce depois,
é máximo local com
. Como
decresce antes de
e cresce depois,
é mínimo local com
.
Passo 5
Para a reta
intersectar o gráfico de
em três pontos distintos é preciso que
fique estritamente entre o valor do mínimo local e o valor do máximo local, ou seja,
Resposta
(a)
é crescente em
e decrescente em
.
(b) A equação tem exatamente três soluções reais se, e somente se,
.
(b) A equação