[23] Seja p(x)=2 x^3-9 x^2+12 x um polinômio de grau 3 .
(a) Determine para quais intervalos o polinômio é crescente ou decrescente.
(b) Determine para quais valores de c a equação p(x)=c tem exatamente três soluções reais.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=2x^3-9x^2+12x e pede:
– (a) em quais intervalos ele é crescente ou decrescente;
– (b) para quais valores de c a equação p(x)=c tem exatamente três soluções reais.
Vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade e análise de máximos e mínimos locais para escolher c.

Passo 2

Calculemos a derivada de p:
p'(x)=ddx(2x^3-9x^2+12x) =6x^2-18x+12 =6(x^2-3x+2) =6(x-1)(x-2)

Passo 3

Os zeros de p'(x) são x=1 e x=2. Como p'(x) é um parabola voltada para cima (coeficiente de x^2 positivo), temos:
p'(x)>0 em (-infty,1) e em (2,infty), logo p é crescente nesses intervalos.
p'(x)<0 em (1,2), logo p é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Calculemos os valores de p nos pontos críticos para identificar máximo e mínimo locais:
p(1)=2cdot1^3-9cdot1^2+12cdot1=2-9+12=5,
p(2)=2cdot2^3-9cdot2^2+12cdot2=16-36+24=4
Como p cresce antes de x=1 e decresce depois, x=1 é máximo local com p(1)=5. Como p decresce antes de x=2 e cresce depois, x=2 é mínimo local com p(2)=4.

Passo 5

Para a reta y=c intersectar o gráfico de p em três pontos distintos é preciso que c fique estritamente entre o valor do mínimo local e o valor do máximo local, ou seja,
4<p( x )<5 Longrightarrow cin(4,5)

Resposta

(a) p é crescente em (-infty,1)cup(2,infty) e decrescente em (1,2).
(b) A equação p(x)=c tem exatamente três soluções reais se, e somente se, cin(4,5).

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