Déterminez les 3 coefficients de pertes de charge par frottement à qv=15 m3/h correspondant aux 3 portions de tuyau de différente rugosité ? justifiez votre réponse.
2) En déduire la charge du circuit pour ce débit ? A qv = 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, la pompe fournie 4.5 bars de gain en pression. Est-ce suffisant pour assurer le débit du cahier des charges ?
3) Installation neuve (i.e. \Delta=0,1 \mathrm{~mm} dans les 5 km de conduite), la pompe est-elle adaptée pour assurer le débit de 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais:
  1. Determinar os três coeficientes de perda de carga por atrito correspondentes a três trechos de conduta com rugosidades diferentes, para um caudal volumétrico \,q_v=15\\ \mathrm{m^3/h}.
  2. A partir desses coeficientes, deduzir a carga (perda de carga total) do circuito para esse caudal e comparar com a capacidade da bomba que fornece um ganho de pressão de \,4{,}5\\ \mathrm{bar} (ver se é suficiente).
  3. Reavaliar o caso de instalação nova (rugosidade \Delta=0{,}1\\ \mathrm{mm} ao longo dos \,5\\ \mathrm{km} de conduta) e dizer se a bomba é adequada para assegurar \,15\\ \mathrm{m^3/h}.
Informações dadas explicitamente no enunciado:
  • \,q_v = 15\\ \mathrm{m^3/h}.
  • A bomba fornece \,4{,}5\\ \mathrm{bar} de aumento de pressão.
  • Caso da instalação nova: rugosidade \Delta = 0{,}1\\ \mathrm{mm} ao longo de \,5\\ \mathrm{km}.
Informações que o enunciado deveria conter, e que estão ausentes (são necessárias para calcular numericamente os coeficientes e as perdas):
  • Diâmetro interno de cada trecho \,D (ou área da tubulação).
  • Comprimento de cada um dos três trechos \,L.
  • Rugosidade absoluta \,\varepsilon (ou \Delta) de cada um dos três trechos — para o caso 3 foi dado \,0{,}1\\ \mathrm{mm} mas para os três trechos originais não foi informada.
  • Informação sobre o fluido (assumiremos água à temperatura dada? qual temperatura?), para obter viscosidade cinemática \,\nu e densidade \,\rho.
  • Existe elevação (diferença de cota) no circuito ou acessórios (válvulas, cotovelos) que causem perdas localizadas? Se houver, são necessárias perdas singulares (coeficientes K ou equivalentes em comprimento).
    Sem esses dados não é possível calcular valores numéricos únicos para os coeficientes de atrito nem a perda de carga total.

Passo 2

O método geral que vamos usar (explicação didática, passo a passo) — lista das etapas de cálculo que você fará na prova quando tiver os dados:
  1. Converter o caudal para unidades SI: \,q = \dfrac{15\\ \mathrm{m^3}}{3600\\ \mathrm{s}} = (mostrar conversão).
  2. Calcular a velocidade média do fluido em cada trecho com \,v = \dfrac{q}{A} onde \,A=\dfrac{\pi D^2}{4}. Vou explicar essas fórmulas com calma.
  3. Calcular o número de Reynolds em cada trecho: \,\mathrm{Re} = \dfrac{v D}{\nu}. Vou explicar o que é \,\nu e valores típicos.
  4. Determinar se o fluxo é laminar ( \mathrm{Re}<2000), de transição, ou turbulento ( \mathrm{Re}>4000). Para laminar usa-se \,f = \dfrac{64}{\mathrm{Re}}. Para turbulento usa-se uma relação implícita como a equação de Colebrook, ou uma aproximação explícita (Haaland) para obter \,f.
  5. Calcular a perda de carga por atrito em cada trecho com a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f \,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{v^2}{2g},
onde explico cada termo.
6. Somar as perdas dos trechos (e adicionar perdas singulares se existirem) para obter a perda de carga total \,H_{tot}.
7. Converter a pressão fornecida pela bomba em cabeça (altura) para comparar com \,H_{tot}: \Delta p = \rho g H então H = \dfrac{\Delta p}{\rho g}. A bomba dá \,4{,}5\\ \mathrm{bar} = 4{,}5\times10^5\\ \mathrm{Pa}, o que corresponde a uma certa cabeça em metros. Vou mostrar o cálculo.
8. Concluir se a bomba é suficiente: se H_{pump} \ge H_{tot} então sim; caso contrário não.
Agora eu ensino cada etapa com detalhes que você pode reproduzir na prova.

Passo 3

Converter o caudal e achar a velocidade média (explicando as fórmulas):
  • Converter \,q_v para \,\mathrm{m^3/s}: \,q = \dfrac{15}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = \,\dfrac{15}{3600} (aqui você calculará o número). Sempre escreva a fração e simplifique na prova.
  • Área da seção circular: \displaystyle A = \dfrac{\pi D^2}{4}.
  • Velocidade média: \displaystyle v = \dfrac{q}{A} = \dfrac{4q}{\pi D^2}.
    Explicação intuitiva: o caudal é o volume que passa por segundo; dividir por área dá a velocidade média. Se D aumenta, v diminui.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds e sua interpretação:
  • Fórmula: \displaystyle \mathrm{Re} = \dfrac{v D}{\nu}.
  • Aqui \,v é a velocidade média (m/s), \,D é o diâmetro (m), \,\nu é a viscosidade cinemática do fluido (m^2/s). Para água à temperatura próxima de 20\,^\circ\mathrm{C}, \nu \approx 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Se estiver a outra temperatura, use a \nu correspondente.
  • Interpretação prática: \mathrm{Re}\lesssim2000 → fluxo laminar; 2000\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000 → zona de transição; \mathrm{Re}\gtrsim4000 → turbulento. Em tubulações de água em regime usual de engenharia, normalmente temos regime turbulento.

Passo 5

Como obter o coeficiente de atrito \,f:
  • No regime laminar: \displaystyle f = \dfrac{64}{\mathrm{Re}}. (Fácil de usar na prova.)
  • No regime turbulento: usamos a equação implícita de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \dfrac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right),
onde \,\varepsilon é a rugosidade absoluta da superfície (m) e \varepsilon/D é a rugosidade relativa. Explico: Colebrook mistura o efeito da rugosidade e da viscosidade (via \mathrm{Re}).
  • Como a equação de Colebrook é implícita em \,f, em prova você pode:
    • usar iteração numérica (valor inicial razoável \,f_0=0{,}02, recalcular até convergir), ou
    • usar a fórmula explícita de Haaland (prática e geralmente aceita em provas):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left[ \left(\dfrac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11} + \dfrac{6{,}9}{\mathrm{Re}} \right].
Essa fórmula dá um f muito próximo do Colebrook sem iteração.
  • Procedimento prático: calcule \mathrm{Re}, compute \varepsilon/D, substitua na Haaland e obtenha f. Se precisar de mais precisão, faça 1–2 iterações da Colebrook usando o valor obtido como inicial.

Passo 6

Cálculo da perda de carga por atrito por trecho (Darcy–Weisbach) e conversão para pressão:
  • Fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{v^2}{2g},
onde h_f é a perda de carga (m), L é o comprimento do trecho (m), D é o diâmetro (m), v é a velocidade média (m/s), g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Se houver perdas singulares (válvulas, cotovelos, filtros), cada perda singular pode ser tratada como h_s = K \dfrac{v^2}{2g} com coeficiente K. Some todas.
  • Perda total do circuito: \displaystyle H_{tot} = \sum_{\text{trechos}} h_{f,i} + \sum_{\text{singulares}} h_{s,j} + \Delta z (onde \Delta z é diferença de cota entre sucção e recalque, se houver).
  • Converter a cabeça total em pressão: \displaystyle \Delta p = \rho g H_{tot}. Aqui \rho é densidade do fluido (para água, \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}).
  • A bomba dá \,4{,}5\\ \mathrm{bar} = 4{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. A cabeça corresponderá a:
H_{\text{pump}} = \dfrac{\Delta p_{\text{pump}}}{\rho g} = \dfrac{4{,}5\times 10^{5}}{1000\times 9{,}81}\\ \mathrm{m}.
Calcule esse número para comparação.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (com números hipotéticos) — aprenda o procedimento na prática
Vou fazer um exemplo com números fictícios só para mostrar a sequência. NÃO estou afirmando que esses são os seus trechos; é apenas um exemplo para você entender o cálculo passo a passo que fará com seus próprios dados.
  • Suponha um trecho com D=0{,}1\\ \mathrm{m}, L=100\\ \mathrm{m}, rugosidade \varepsilon=0{,}26\\ \mathrm{mm}=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Converter \,q=15/3600=0{,}0041667\\ \mathrm{m^3/s}. (Aqui use \,q em \mathrm{m^3/s}.)
  • Área: \,A=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi (0{,}1)^2}{4}=7{,}854\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade: \,v=q/A\approx0{,}53\\ \mathrm{m/s}.
  • Reynolds: usando \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}, \mathrm{Re}=vD/\nu\approx0{,}53\times0{,}1/(1\times10^{-6})\approx53{,}000 (turbulento).
  • Rugosidade relativa: \varepsilon/D = 2{,}6\times10^{-4}/0{,}1 = 2{,}6\times10^{-3}.
  • Usando Haaland:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1{,}8\log_{10}\!\left[ \left(\dfrac{2{,}6\times10^{-3}}{3{,}7}\right)^{1{,}11} + \dfrac{6{,}9}{53000} \right].
Calcule o conteúdo do log, obtenha 1/\sqrt{f} e então f. (Na prova, faça as contas com uma calculadora ou, se permitido, com aproximações.)
  • Depois calcule h_f = f (L/D) v^2/(2g). Some os h_f dos três trechos fictícios para obter H_{tot}. Converta com \Delta p=\rho g H_{tot} e compare com os 4{,}5\\ \mathrm{bar} da bomba (ou converta 4{,}5\\ \mathrm{bar} para cabeça em m como explicado no passo anterior).
Este exemplo demonstra a sequência de operações. Na prova você repetirá para cada trecho com seus D, L, \varepsilon.

Passo 8

Caso especial pedido no enunciado: instalação nova com \Delta = 0{,}1\\ \mathrm{mm} ao longo de \,5\\ \mathrm{km}:
  • Aqui você tem um caso com comprimento total L_{tot}=5000\\ \mathrm{m} e rugosidade absoluta \varepsilon=0{,}1\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}. Para calcular as perdas basta aplicar o procedimento dos passos anteriores com L=5000\\ \mathrm{m} e essa rugosidade, assumindo que a tubulação tenha um diâmetro conhecido D.
  • Sem D não é possível calcular \varepsilon/D, \mathrm{Re} e, portanto, f e H_{tot}. Então é imprescindível o diâmetro (ou a área).

Passo 9

Resumo do que falta e como você deve fornecer os dados para que eu (ou você na prova) obtenha os números exatos:
  • Para cada um dos três trechos: informe \,D (m), \,L (m) e \,\varepsilon (mm ou m).
  • Informe também se há perdas singulares relevantes (lista de acessórios com seus coeficientes K ou quantidades), e diferenças de cota entre sucção e recalque.
  • Informe temperatura da água (para escolher \nu e \rho corretos) se diferente de cerca de 20\,^\circ\mathrm{C}.
Se você me der esses dados eu faço o cálculo numérico passo a passo, mostrando cada operação e dando os três coeficientes \,f, as perdas por trecho e a perda total, e direi claramente se a bomba de \,4{,}5\\ \mathrm{bar} é suficiente.

Resposta

Não é possível fornecer os três coeficientes numéricos nem a perda de carga total porque faltam dados essenciais: para cada trecho são necessários o diâmetro interno (D), o comprimento (L) e a rugosidade absoluta (\varepsilon). Também é necessária a viscosidade/densidade do fluido (ou temperatura da água) e informação sobre perdas singulares ou diferenças de cota. Forneça esses dados e eu calculo tudo passo a passo.

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