Suponha uma tubulação cuja parede tenha a forma de uma casca cilíndrica com raio interno
e raio externo
. A área da superfície externa da tubulação é A
.
A temperatura da superfície interna do tubo é T_1
e da superfície externa é T_2
. A condutividade térmica do material (aço inoxidável) é
.
Determine a carga térmica Q’ que atravessa radialmente a parede da tubulação.
Resposta:
Escolher… *
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a grandeza indicada:
- Raio interno:
. - Raio externo:
. - Área da superfície externa:
. - Temperatura na superfície interna:
. - Temperatura na superfície externa:
. - Condutividade térmica do material:
.
O que se pede: determinar a carga térmica
que atravessa radialmente a parede da tubulação. (Observação: aqui vou calcular tanto a carga térmica por unidade de comprimento
— que é o resultado usual para condução radial em cilindro — quanto, usando a área externa fornecida, a potência total
que atravessa toda a parede ao longo do comprimento do tubo.)
Passo 2
Entender fisicamente e a fórmula a usar (princípio e variáveis). Em regime estacionário, condução radial em uma casca cilíndrica obedece à Lei de Fourier diferencial:
onde:
-
é a taxa de calor (W) atravessando a superfície cilíndrica de raio , -
é a condutividade térmica ( ), -
é a área transversal ao fluxo à distância do eixo; para um cilindro de comprimento , , -
é o gradiente radial de temperatura.
Como o problema é de regime estacionário e simetria angular/axial, a taxa de calor é independente de
. Vamos integrar a equação entre
e
para relacionar
,
e
.
Passo 3
Derivação passo a passo da expressão para a taxa de calor por unidade de comprimento. Começamos escrevendo a taxa de calor total
que atravessa a seção cilíndrica de raio
:
Como
é constante em
, podemos separar variáveis e integrar de
a
para
e de
a
para
:
Integrando:
Rearranjando e lembrando que
(então
), obtemos a fórmula usual:
A carga térmica por unidade de comprimento (ou seja, taxa por unidade de comprimento), que frequentemente se denota por
ou
, é:
Aqui:
-
tem unidade , -
é a diferença de temperatura em , -
é sem unidade.
Passo 4
Aplicando a fórmula numérica para
. Primeiro calculemos a diferença de temperatura:
Calcule o logaritmo:
Agora substituímos em
Substituindo números (vou mostrar os passos numéricos com cuidado):
Dividindo pelo logaritmo:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
(Extra útil) Se quiser a potência total
que atravessa toda a parede ao longo do comprimento do tubo, usamos a área externa dada para obter o comprimento
. A área externa de um cilindro é
Substituindo
e
:
Então a potência total é