Suponha uma tubulação cuja parede tenha a forma de uma casca cilíndrica com raio interno R_{1}=0,985 m e raio externo R_{2}=1,000 m. A área da superfície externa da tubulação é A =21 \mathrm{~m}^{2}.
A temperatura da superfície interna do tubo é T_1 =159^{\circ} \mathrm{C} e da superfície externa é T_2 =35^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade térmica do material (aço inoxidável) é k=18 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.
Determine a carga térmica Q’ que atravessa radialmente a parede da tubulação.
Resposta: \square Escolher… *

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a grandeza indicada:
  • Raio interno: R_{1}=0{,}985\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo: R_{2}=1{,}000\\ \mathrm{m}.
  • Área da superfície externa: A=21\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura na superfície interna: T_{1}=159^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na superfície externa: T_{2}=35^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do material: k=18\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}).
O que se pede: determinar a carga térmica \,Q'\, que atravessa radialmente a parede da tubulação. (Observação: aqui vou calcular tanto a carga térmica por unidade de comprimento \,Q' — que é o resultado usual para condução radial em cilindro — quanto, usando a área externa fornecida, a potência total \,Q que atravessa toda a parede ao longo do comprimento do tubo.)

Passo 2

Entender fisicamente e a fórmula a usar (princípio e variáveis). Em regime estacionário, condução radial em uma casca cilíndrica obedece à Lei de Fourier diferencial:
q_r = -k\,A_r\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_r é a taxa de calor (W) atravessando a superfície cilíndrica de raio r,
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}),
  • A_r é a área transversal ao fluxo à distância r do eixo; para um cilindro de comprimento L, A_r = 2\pi r L,
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
Como o problema é de regime estacionário e simetria angular/axial, a taxa de calor é independente de r. Vamos integrar a equação entre r=R_1 e r=R_2 para relacionar Q, T_1 e T_2.

Passo 3

Derivação passo a passo da expressão para a taxa de calor por unidade de comprimento. Começamos escrevendo a taxa de calor total \dot Q que atravessa a seção cilíndrica de raio r:
\dot Q = -k\,2\pi r L\,\frac{dT}{dr}.
Como \dot Q é constante em r, podemos separar variáveis e integrar de R_1 a R_2 para r e de T_1 a T_2 para T:
\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r} = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\int_{T_1}^{T_2} dT.
Integrando:
\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right) = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\,(T_2-T_1).
Rearranjando e lembrando que T_1>T_2 (então T_1-T_2>0), obtemos a fórmula usual:
\dot Q = \frac{2\pi k L\,(T_1-T_2)}{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}.
A carga térmica por unidade de comprimento (ou seja, taxa por unidade de comprimento), que frequentemente se denota por Q' ou \dot q', é:
Q'=\frac{\dot Q}{L}=\frac{2\pi k\,(T_1-T_2)}{\ln\!\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}.
Aqui:
  • Q' tem unidade \mathrm{W}/\mathrm{m},
  • T_1-T_2 é a diferença de temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • \ln(R_2/R_1) é sem unidade.

Passo 4

Aplicando a fórmula numérica para Q'. Primeiro calculemos a diferença de temperatura:
T_1-T_2 = 159 - 35 = 124\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calcule o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{R_2}{R_1}\right)=\ln\!\left(\frac{1{,}000}{0{,}985}\right)=\ln(1{,}015228426\ldots)\approx 0{,}01511.
Agora substituímos em
Q'=\frac{2\pi k\,(T_1-T_2)}{\ln(R_2/R_1)}.
Substituindo números (vou mostrar os passos numéricos com cuidado):
2\pi k = 2\pi\cdot 18 = 36\pi \approx 113{,}0973355,
2\pi k\,(T_1-T_2) \approx 113{,}0973355 \times 124 \approx 14\,022{,}90.
Dividindo pelo logaritmo:
Q' \approx \frac{14\,022{,}90}{0{,}01511} \approx 9{,}28\times 10^{5}\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
Q' \approx 9{,}28\cdot 10^{5}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

(Extra útil) Se quiser a potência total \dot Q que atravessa toda a parede ao longo do comprimento do tubo, usamos a área externa dada para obter o comprimento L. A área externa de um cilindro é
A = 2\pi R_2 L \quad\Rightarrow\quad L = \frac{A}{2\pi R_2}.
Substituindo A=21\\ \mathrm{m}^2 e R_2=1{,}000\\ \mathrm{m}:
L = \frac{21}{2\pi\cdot 1{,}000} = \frac{21}{2\pi} \approx 3{,}343\\ \mathrm{m}.
Então a potência total é
\dot Q = Q'\,L \approx \bigl(9{,}28\times 10^{5}\bigr)\times 3{,}343 \approx 3{,}10\times 10^{6}\\ \mathrm{W}.

Resposta

Q' \approx 9{,}28\times 10^{5}\\ \mathrm{W/m}
\dot Q \\ (\text{total, usando }A=21\\ \mathrm{m}^2) \approx 3{,}10\times 10^{6}\\ \mathrm{W}

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