Determini se a séri \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{5 x^{2}+4} converge a diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{5 x^{2}+4}
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{x^{2}}{5 x^{2}+4}.
  • Observe que a_n não depende de n; é uma constante (em função de x) repetida em todos os termos.
  • x é um parâmetro (presumimos x\in\mathbb{R}). A pergunta é: para quais valores de x a série converge?

Passo 2

Propriedade-chave (teste necessário para convergência): se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então os termos a_n necessariamente tendem a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n convergem para um número finito S, então a diferença entre somatórios consecutivos S_{N+1}-S_N=a_{N+1} deve tender a 0. Portanto, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.

Passo 3

Calcule o limite dos termos a_n. Como a_n não depende de n, o limite é simplesmente o próprio valor da expressão:
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{x^{2}}{5 x^{2}+4}.
Denotemos esse valor por c(x)=\dfrac{x^{2}}{5 x^{2}+4}. Note que o denominador 5x^{2}+4 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, logo c(x) está bem definido para todo x.

Passo 4

Análise pelo teste necessário (caso x=0):
  • Se x=0, então
c(0)=\frac{0^{2}}{5\cdot 0^{2}+4} = 0.
  • Nesse caso, todos os termos são a_n=0 e a série é
\sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0,
que converge (a soma parcial S_N=0 para todo N). Então para x=0 a série converge.

Passo 5

Análise pelo teste necessário (caso x\neq 0):
  • Se x\neq 0, então x^{2}>0 e como 5x^{2}+4>0 temos
c(x)=\frac{x^{2}}{5 x^{2}+4} > 0.
  • Assim \lim_{n\to\infty} a_n = c(x)\neq 0. Pelo passo 2, isso impede a convergência da série: se os termos não tendem a zero a série diverge.
  • Alternativamente, como a_n=c(x) é constante positiva, os somatórios parciais são
S_N=\sum_{n=1}^N a_n = N\cdot c(x),
que tende a +\infty quando N\to\infty. Portanto a série diverge para todo x\neq 0.

Passo 6

Resumindo: a série só pode convergir quando o termo geral for zero; isso ocorre apenas em x=0. Para qualquer x\neq 0 os termos são uma constante positiva e a série diverge (os somatórios parciais crescem sem limite). Força aí — essa questão é um clássico: olhar se o termo geral tende a zero já resolve rápido.

Resposta

Converge somente para x=0.
Diverge para todo x\neq 0.

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