Determini se a séri
converge a diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- O termo geral da série é
. - Observe que
não depende de ; é uma constante (em função de ) repetida em todos os termos. -
é um parâmetro (presumimos ). A pergunta é: para quais valores de a série converge?
Passo 2
Propriedade-chave (teste necessário para convergência): se a série
converge, então os termos
necessariamente tendem a zero, isto é,
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais
convergem para um número finito
, então a diferença entre somatórios consecutivos
deve tender a
. Portanto, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
Passo 3
Calcule o limite dos termos
. Como
não depende de
, o limite é simplesmente o próprio valor da expressão:
Denotemos esse valor por
. Note que o denominador
é sempre positivo para todo
, logo
está bem definido para todo
.
Passo 4
Análise pelo teste necessário (caso
):
- Se
, então
- Nesse caso, todos os termos são
e a série é
que converge (a soma parcial
para todo
). Então para
a série converge.
Passo 5
Análise pelo teste necessário (caso
):
- Se
, então e como temos
- Assim
. Pelo passo 2, isso impede a convergência da série: se os termos não tendem a zero a série diverge. - Alternativamente, como
é constante positiva, os somatórios parciais são
que tende a
quando
. Portanto a série diverge para todo
.
Passo 6
Resumindo: a série só pode convergir quando o termo geral for zero; isso ocorre apenas em
. Para qualquer
os termos são uma constante positiva e a série diverge (os somatórios parciais crescem sem limite). Força aí — essa questão é um clássico: olhar se o termo geral tende a zero já resolve rápido.
Resposta
Converge somente para
.
Diverge para todo .
Diverge para todo