Encontre as integrais indefinidas abaixo usando uma substituição adequada:
\int \operatorname{sen}(2 x) e^{\cos (2 x)} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(2x)\,e^{\cos(2x)}\,dx.
Informações relevantes que temos: a função a integrar é um produto de \operatorname{sen}(2x) com e^{\cos(2x)}. Queremos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja a integranda) e apresentar a constante de integração.

Passo 2

Observação útil (por que isso ajuda): dentro da exponencial aparece \cos(2x). Se fizermos uma substituição que torne essa expressão interna em uma nova variável, a integral pode ficar simples. Lembre que, em geral, se colocarmos \displaystyle u=\cos(2x), então a derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\operatorname{sen}(2x).
Aqui u é a nova variável que representa o argumento da exponencial, e du é sua diferencial. A igualdade acima nos mostra que \operatorname{sen}(2x)\,dx aparece quando isolamos du: vamos manipular essa relação para trocar \operatorname{sen}(2x)\,dx por algo em du.

Passo 3

Isolando \operatorname{sen}(2x)\,dx a partir de \displaystyle du=-2\operatorname{sen}(2x)\,dx, obtemos
\operatorname{sen}(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\,du.
Agora substituímos \displaystyle u=\cos(2x) e \operatorname{sen}(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\,du na integral original. A integral fica
\int \operatorname{sen}(2x)\,e^{\cos(2x)}\,dx = \int e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right).

Passo 4

Fatorando a constante -\tfrac{1}{2} para fora da integral, obtemos
\int e^{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du.
Agora usamos a primitiva conhecida da função exponencial: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}. Portanto
-\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{2}e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, lembrando que \displaystyle u=\cos(2x), substituímos u de volta para obter a primitiva em função de x:
-\tfrac{1}{2}e^{u}+C = -\tfrac{1}{2}e^{\cos(2x)}+C.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando -\tfrac{1}{2}e^{\cos(2x)} em relação a x pelo uso da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(-\tfrac{1}{2}e^{\cos(2x)}\right) = -\tfrac{1}{2}e^{\cos(2x)}\cdot\frac{d}{dx}\cos(2x) = -\tfrac{1}{2}e^{\cos(2x)}\cdot(-2\operatorname{sen}(2x)) = \operatorname{sen}(2x)\,e^{\cos(2x)},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{2}e^{\cos(2x)}+C

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