Encontre as integrais indefinidas abaixo usando uma substituição adequada:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos: a função a integrar é um produto de
com
. Queremos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja a integranda) e apresentar a constante de integração.
Passo 2
Observação útil (por que isso ajuda): dentro da exponencial aparece
. Se fizermos uma substituição que torne essa expressão interna em uma nova variável, a integral pode ficar simples. Lembre que, em geral, se colocarmos
, então a derivada de
em relação a
é
Aqui
é a nova variável que representa o argumento da exponencial, e
é sua diferencial. A igualdade acima nos mostra que
aparece quando isolamos
: vamos manipular essa relação para trocar
por algo em
.
Passo 3
Isolando
a partir de
, obtemos
Agora substituímos
e
na integral original. A integral fica
Passo 4
Fatorando a constante
para fora da integral, obtemos
Agora usamos a primitiva conhecida da função exponencial: a primitiva de
em relação a
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original, lembrando que
, substituímos
de volta para obter a primitiva em função de
:
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
em relação a
pelo uso da cadeia,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.