- (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com
de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede
. A área da base dessa pirâmide, em
, é:
a) 13.272
b) 26.544
c) 39.816
d) 53.088
a) 13.272
b) 26.544
c) 39.816
d) 53.088
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular de base quadrada com as seguintes informações:
- altura vertical da pirâmide:
m; - cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base (ou seja, a altura do triângulo desde o vértice até o ponto médio da aresta da base) mede
m; - pede-se a área da base da pirâmide, em
.
Informações relevantes listadas:
- seja
o comprimento do lado do quadrado da base (desconhecido); - a área da base que queremos é
; - a altura do triângulo lateral (a chamada “altura da face”, ou escora inclinada da pirâmide) é
m — isso corresponde à distância do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base; - a altura vertical da pirâmide (do vértice ao centro da base) é
m.
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente (ou no rascunho da prova) a seção vertical que passa pelo vértice e pelo ponto médio de um lado da base. Isso forma um triângulo retângulo onde:
- o vértice é
, - o centro da base (projeção vertical do vértice) é
, - o ponto médio de um lado é
.
Nesse triângulo retângulo
:
-
é a altura vertical da pirâmide: m; -
é a altura do triângulo lateral (slant height): m; -
é a metade do lado da base: .
Como
é retângulo em
, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aqui a hipotenusa é
e os catetos são
e
. Então vale
Passo 3
Agora vamos calcular os quadrados numéricos que aparecem na igualdade. Calculemos passo a passo:
Substituindo na fórmula do Pitágoras:
Passo 4
Temos
. Então para achar
basta multiplicar por
, pois
A área da base é exatamente
, logo
.