1. (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m^{2}, é:
    a) 13.272
    b) 26.544
    c) 39.816
    d) 53.088

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular de base quadrada com as seguintes informações:
  • altura vertical da pirâmide: 137 m;
  • cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base (ou seja, a altura do triângulo desde o vértice até o ponto médio da aresta da base) mede 179 m;
  • pede-se a área da base da pirâmide, em \text{m}^2.
Informações relevantes listadas:
  • seja s o comprimento do lado do quadrado da base (desconhecido);
  • a área da base que queremos é A = s^2;
  • a altura do triângulo lateral (a chamada “altura da face”, ou escora inclinada da pirâmide) é 179 m — isso corresponde à distância do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base;
  • a altura vertical da pirâmide (do vértice ao centro da base) é 137 m.

Passo 2

Vamos desenhar mentalmente (ou no rascunho da prova) a seção vertical que passa pelo vértice e pelo ponto médio de um lado da base. Isso forma um triângulo retângulo onde:
  • o vértice é V,
  • o centro da base (projeção vertical do vértice) é O,
  • o ponto médio de um lado é M.
Nesse triângulo retângulo VOM:
  • VO é a altura vertical da pirâmide: VO = 137 m;
  • VM é a altura do triângulo lateral (slant height): VM = 179 m;
  • OM é a metade do lado da base: OM = \dfrac{s}{2}.
Como VOM é retângulo em O, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aqui a hipotenusa é VM e os catetos são VO e OM. Então vale
\left(\dfrac{s}{2}\right)^{2} + 137^{2} = 179^{2}.

Passo 3

Agora vamos calcular os quadrados numéricos que aparecem na igualdade. Calculemos passo a passo:
137^{2} = 137 \times 137 = 18\,769,
179^{2} = 179 \times 179 = 32\,041.
Substituindo na fórmula do Pitágoras:
\left(\dfrac{s}{2}\right)^{2} = 179^{2} - 137^{2} = 32\,041 - 18\,769 = 13\,272.

Passo 4

Temos \left(\dfrac{s}{2}\right)^{2} = 13\,272. Então para achar s^{2} basta multiplicar por 4, pois
s^{2} = 4\left(\dfrac{s}{2}\right)^{2} = 4 \times 13\,272 = 53\,088.
A área da base é exatamente A = s^{2}, logo A = 53\,088\\ \text{m}^{2}.

Resposta

53\,088\\ \text{m}^{2}

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