(Enem - 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos da mesma altura - 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior -, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem
de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede (vou listar tudo com calma para não nos perder). Do enunciado e da figura eu extraí as seguintes informações:
- A vela tem a forma de uma pirâmide quadrangular regular com base quadrada de aresta
(peguei esse dado da imagem, onde está indicado na base). - A altura total da pirâmide (modelo) é ).
- A vela é formada por 4 blocos de mesma altura: 3 troncos de pirâmide (frustums) + 1 pirâmide pequena no topo.
- Entre cada bloco existe um espaçamento de
(há 3 espaçamentos, um entre cada par de blocos consecutivos). - O dono vai retirar a pirâmide da parte superior (ou seja, ele não fará mais a peça superior) mas manterá o mesmo molde para fabricar a vela. A aresta da base dessa pirâmide retirada é dada como ) (essa informação serve para confirmar divisão por alturas iguais; vamos usar a informação dos espaços para ajustar o volume usado).
- O que a questão pede: quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela — isto é, qual será o volume de parafina usado na nova vela (unidade:
).
Resumo dos dados numéricos relevantes:
Passo 2
Entender a geometria e a relação entre os blocos e os espaços (visualização e ideia que vamos usar).
- Há 4 blocos da mesma altura. Entre cada dois blocos há um espaço de
. Como existem 4 blocos, há 3 espaços de , totalizando de espaços. - Esses espaços são vazios (não têm parafina). Portanto, a altura total do material sólido (a soma das alturas dos 4 blocos) é a altura total do molde menos a soma dos espaços:
Explicando: a forma inteira (pirâmide contínua) tem 19 cm de altura no molde; porém, na vela real os blocos são separados por três vazios de 1 cm cada, então o total de altura ocupada por parafina é
.
Passo 3
Calcular a quantidade de parafina que a nova vela usará quando o dono retirar a pirâmide superior.
Raciocínio prático (o que a fábrica passa a produzir): retirando a pirâmide superior o que resta do molde, no total de material sólido preenchido com parafina, é equivalente a uma pirâmide quadrangular regular cuja altura (a soma das alturas dos blocos preenchidos) é e cuja base continua sendo o quadrado de aresta
. Ou seja, o volume de parafina que será usado é o volume de uma pirâmide com:
Raciocínio prático (o que a fábrica passa a produzir): retirando a pirâmide superior o que resta do molde, no total de material sólido preenchido com parafina, é equivalente a uma pirâmide quadrangular regular cuja altura (a soma das alturas dos blocos preenchidos) é
- base quadrada de aresta
(área da base ), - altura igual à altura total do material sólido usado na vela nova
.
Observação didática sobre a fórmula do volume da pirâmide (para você poder usar na prova):
- A fórmula do volume de uma pirâmide qualquer é
onde
é a área da base (no nosso caso, base quadrada de lado
, então
) e
é a altura da pirâmide medida perpendicular à base.
- Aqui,
e . Vamos aplicar a fórmula passo a passo.
Passo 4
Aplicar a fórmula e calcular o volume numérico com contas simples (sem calculadora).
- Área da base:
- Volume:
Calcule por partes:
. Então