(Enem - 2009) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos da mesma altura - 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior -, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 \mathrm{~cm} de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
a) 156 \mathrm{~cm}^{3}
b) 189 \mathrm{~cm}^{3}
c) 192 \mathrm{~cm}^{3}
d) 216 \mathrm{~cm}^{3}
e) 540 \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede (vou listar tudo com calma para não nos perder). Do enunciado e da figura eu extraí as seguintes informações:
  • A vela tem a forma de uma pirâmide quadrangular regular com base quadrada de aresta 6\\ \mathrm{cm} (peguei esse dado da imagem, onde está indicado 6\\ \mathrm{cm} na base).
  • A altura total da pirâmide (modelo) é \(19\\ \mathrm{cm}).
  • A vela é formada por 4 blocos de mesma altura: 3 troncos de pirâmide (frustums) + 1 pirâmide pequena no topo.
  • Entre cada bloco existe um espaçamento de 1\\ \mathrm{cm} (há 3 espaçamentos, um entre cada par de blocos consecutivos).
  • O dono vai retirar a pirâmide da parte superior (ou seja, ele não fará mais a peça superior) mas manterá o mesmo molde para fabricar a vela. A aresta da base dessa pirâmide retirada é dada como \(1{,}5\\ \mathrm{cm}) (essa informação serve para confirmar divisão por alturas iguais; vamos usar a informação dos espaços para ajustar o volume usado).
  • O que a questão pede: quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela — isto é, qual será o volume de parafina usado na nova vela (unidade: \mathrm{cm}^3).
Resumo dos dados numéricos relevantes:
\text{aresta da base} = 6\\ \mathrm{cm},\qquad \text{altura total do molde} = 19\\ \mathrm{cm},\qquad \text{3 espaçamentos de }1\\ \mathrm{cm}.ç

Passo 2

Entender a geometria e a relação entre os blocos e os espaços (visualização e ideia que vamos usar).
  • Há 4 blocos da mesma altura. Entre cada dois blocos há um espaço de 1\\ \mathrm{cm}. Como existem 4 blocos, há 3 espaços de 1\\ \mathrm{cm}, totalizando 3\\ \mathrm{cm} de espaços.
  • Esses espaços são vazios (não têm parafina). Portanto, a altura total do material sólido (a soma das alturas dos 4 blocos) é a altura total do molde menos a soma dos espaços:
\text{altura total do material sólido} = 19 - 3 = 16\\ \mathrm{cm}.ó
Explicando: a forma inteira (pirâmide contínua) tem 19 cm de altura no molde; porém, na vela real os blocos são separados por três vazios de 1 cm cada, então o total de altura ocupada por parafina é 19-3.

Passo 3

Calcular a quantidade de parafina que a nova vela usará quando o dono retirar a pirâmide superior.
Raciocínio prático (o que a fábrica passa a produzir): retirando a pirâmide superior o que resta do molde, no total de material sólido preenchido com parafina, é equivalente a uma pirâmide quadrangular regular cuja altura (a soma das alturas dos blocos preenchidos) é 16\\ \mathrm{cm} e cuja base continua sendo o quadrado de aresta 6\\ \mathrm{cm}. Ou seja, o volume de parafina que será usado é o volume de uma pirâmide com:
  • base quadrada de aresta 6\\ \mathrm{cm} (área da base =6^2=36\\ \mathrm{cm}^2),
  • altura igual à altura total do material sólido usado na vela nova =16\\ \mathrm{cm}.
Observação didática sobre a fórmula do volume da pirâmide (para você poder usar na prova):
  • A fórmula do volume de uma pirâmide qualquer é
\boxed{V = \dfrac{1}{3}\,A_{\text{base}}\cdot h}
onde A_{\text{base}} é a área da base (no nosso caso, base quadrada de lado 6, então A_{\text{base}}=6^2) e h é a altura da pirâmide medida perpendicular à base.
  • Aqui, A_{\text{base}}=36\\ \mathrm{cm}^2 e h=16\\ \mathrm{cm}. Vamos aplicar a fórmula passo a passo.

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular o volume numérico com contas simples (sem calculadora).
  • Área da base:
A_{\text{base}} = 6^2 = 36\\ \mathrm{cm}^2.
  • Volume:
V = \dfrac{1}{3}\,A_{\text{base}}\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 16.
Calcule por partes: \dfrac{1}{3}\cdot 36 = 12. Então
V = 12\cdot 16 = 192\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

192\\ \mathrm{cm}^3

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