Determinie o diferencial das seguintes funções:
w=x \operatorname{sen}(y z)

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total da função
w = x \sin(yz)
que depende de três variáveis independentes x, y e z. Para isso, vamos usar a definição de diferencial total para funções de várias variáveis:
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx \;+\;\frac{\partial w}{\partial y}\,dy \;+\;\frac{\partial w}{\partial z}\,dz.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a x, tratando y e z como constantes. Como
w = x \,\sin(yz),
temos
\frac{\partial w}{\partial x} = \sin(yz).

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a y. Aqui x é constante e usamos a regra da cadeia sobre \sin(yz):
\frac{\partial w}{\partial y} = x \,\cos(yz)\,\frac{\partial (yz)}{\partial y} = x \,\cos(yz)\,z.

Passo 4

Calcular a derivada parcial em relação a z. De forma análoga:
\frac{\partial w}{\partial z} = x \,\cos(yz)\,\frac{\partial (yz)}{\partial z} = x \,\cos(yz)\,y.

Passo 5

Substituindo os três parciais na fórmula do diferencial total, obtemos
dw = \sin(yz)\,dx \;+\; x\,z\cos(yz)\,dy \;+\; x\,y\cos(yz)\,dz.

Resposta

dw = \sin(yz)\,dx + xz\cos(yz)\,dy + xy\cos(yz)\,dz.

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