Usando o método do fator integrante, resolva explicitamente a EDO
y^{\prime}+2 x y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem
y' + 2x\,y = x
ou seja, tem a forma
y' + p(x)\,y = q(x)
com p(x)=2x e q(x)=x. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x^2\bigr).

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por \mu(x):
e^{x^2}y' + 2x\,e^{x^2}y = x\,e^{x^2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y\,e^{x^2}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr) = y'\,e^{x^2} + y\,(2x\,e^{x^2}).

Passo 4

Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr) = x\,e^{x^2}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{x^2} = \int x\,e^{x^2}\,dx + C.
Fazendo a substituição u = x^2, du = 2x\,dx, obtemos
\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac12 \int e^{u}\,du = \frac12 e^{u} = \frac12 e^{x^2}.
Logo
y\,e^{x^2} = \frac12 e^{x^2} + C.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^{x^2}:
y = \frac12 + C\,e^{-x^2}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = \tfrac12 + C\,e^{-x^2},
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados