Determine se cada EDO é exata. Se for exata, resolva implicitamente.
\left(2 x+y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(2x + y^2)\,dx + 2xy\,dy = 0
que está no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
O conteúdo aqui é equação diferencial exata. Para resolver, vamos primeiro verificar se ela é exata, ou seja, se existe \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais cruzadas:
M(x,y) = 2x + y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial M}{\partial y} = 2y,
N(x,y) = 2xy \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial \Psi(x,y), integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int (2x + y^2)\,dx = x^2 + x\,y^2 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Agora impomos \partial \Psi/\partial y = N(x,y). Derivando
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x\,y + h'(y)
e igualando a N(x,y)=2xy, obtemos
2xy + h'(y) = 2xy \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \text{constante}.

Passo 5

Logo a função potencial é
\Psi(x,y) = x^2 + x\,y^2 + C
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
\Psi(x,y) = K \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x\,y^2 = K,
com K constante arbitrária.

Resposta

x^2 + x\,y^2 = K

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