Determinie se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
sumn=1^infty 43(57)^n.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty43l(57r)^n
é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo aqui é séries geométricas, então vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula de soma.

Passo 2

Observamos que a série é do tipo
sumn=1^inftya,r^n,
onde
a = 43 e r = 57

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que
sumn=1^inftya,r^n
converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui
r = 57,
e como llverttfrac57rrvert < 1, concluímos que a série converge.

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em n=1 é
sumn=1^inftya,r^n ;=;a,r1-r
Substituindo a=tfrac43 e r=tfrac57, temos
S = 43,cdot,571-57

Passo 5

Basta simplificar:
S = 202127 = 2021times72 = 14042 = 103

Resposta

A série é convergente e sua soma é 103.

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