Mostre que existe r>0 tal que
x>r Rightarrow 14<x^3+3 x-12 x^3-6 x+1<34

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe r>0 tal que, sempre que x>r,
14<x^3+3x-12x^3-6x+1<34
O conteúdo aqui é o comportamento de uma função racional no infinito: usamos o limite
limxtoinftyx^3+3x-12x^3-6x+1=tfrac12
e transformamos as duas desigualdades numa só condição de valor absoluto.

Passo 2

Calculemos o limite no infinito por razão dos coeficientes de maior grau:
limxtoinftyx^3+3x-12x^3-6x+1 =12
Isso sugere que para x grande a fração fica próxima de tfrac12.

Passo 3

Reescrevemos
14<x^3+3x-12x^3-6x+1<34 Long<=ftrightarrow |x^3+3x-12x^3-6x+1-12|<14

Passo 4

Simplifiquemos a diferença:
x^3+3x-12x^3-6x+1-12 =2(x^3+3x-1)-(2x^3-6x+1)2,(2x^3-6x+1) =3(4x-1)2,(2x^3-6x+1)
Para x>tfrac14 temos 4x-1>0, e para x>2 o denominador 2x^3-6x+1>0.

Passo 5

A condição de valor absoluto fica, para x>2,
3(4x-1)2(2x^3-6x+1)<14 Long<=ftrightarrow 2x^3-30x+7>0
Basta achar r tal que, para x>r, essa última desigualdade seja válida.

Passo 6

Para x>=4 temos
2x^3-30x+7 ;>=;2cdot4^3-30cdot4+7 =128-120+7=15>0,
e simultaneamente 4>2 garante o denominador positivo. Logo, basta escolher
r=4

Resposta

Por exemplo, r=4 satisfaz
x>4Longrightarrow14<x^3+3x-12x^3-6x+1<34

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