Deve-se conduzir 400 L / s de água a 0,06 mm desde uma captação, cujo nível está na elevação de 1050 m até uma estação de tratamento de água, cujo nível está na elevação 1000 m . Determine qual deve ser o diâmetro da canalização a ser utilizado, sabendo-se que sua extensão será de 5 km , e que a rugosidade de suas paredes internas será igual a 500,600,700,800,900,1000,1100,1200). Considere a existência dos seguintes diâmetros comerciais, dados em mm (50, 75, 100, 150, 200, 250, 300, 400, .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o enunciado e ver o que vamos aplicar.
Você precisa levar 400 L/s (0,4 m³/s) de água de 1050 m até 1000 m de elevação, por um cano de 5 km de comprimento e rugosidade interna ε=0,06 mm. As opções de diâmetro comercial vão de 50 mm a 1200 mm.
O conteúdo que vamos usar é:
  • Equação de Darcy–Weisbach para perda de carga .
  • Cálculo da velocidade a partir da vazão .
  • Número de Reynolds .
  • Equação de Colebrook para achar o fator de atrito em escoamento turbulento.
    Nosso critério é escolher o menor diâmetro comercial tal que a perda de carga não ultrapasse a diferença de elevação (50 m).

Passo 2

Primeiro, padroniza as unidades e monta as fórmulas gerais.
  1. Vazão A = pi D^24 .
  2. Área do tubo de diâmetro v = QA :
Re = v,Dnu, nu = 10^-6 m^2/s
  1. Velocidade média:
hf = f,LD,v^22g, L=5000 m, g=9,81 m/s^2
  1. Número de Reynolds:
1raizf = -2,log10!gl(varepsilon/(3,7,D) ;+;2,51Re,raizfgr)
  1. Perda de carga pela Darcy–Weisbach:
  1. Para escoamento turbulento ( ), o fator é solução da Colebrook:
Aí, para cada comercial, calculamos , , , iteramos na Colebrook até achar , e então . Se m, o diâmetro serve.

Passo 3

Testando fapprox0,0139 :
  1. hf =0,0139;50000,4;(3,183)^22cdot9,81 approx89,7 m .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Iterando Colebrook (chute ) obtemos após duas iterações
  1. Perda de carga:
Isso é maior que os 50 m disponíveis, logo 400 mm é muito pequeno.

Passo 4

Testando fapprox0,0137 :
  1. hf =0,0137;50000,5;(2,037)^22cdot9,81 approx29,0 m .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Iterando Colebrook (chute ) obtemos
  1. Perda de carga:
Aqui , ou seja, cabe folga. Não vale a pena descer mais, porque o próximo abaixo (400 mm) não funciona.

Resposta

O menor diâmetro comercial que satisfaz a condições é 500 mm.

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