Água escoa em um tubo liso
com
. Depois de vários anos de uso, observase que a vazão se reduz a metade para mesma perda de carga. Determine o valor da rugosidade relativa
do tubo deteriorado.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e quais ferramentas a gente vai usar.
Enunciado resumido: água escoa num tubo inicialmente liso (rugosidade ε=0 mm) com número de Reynolds Re₀=10⁶. Depois de alguns anos, o tubo “enferruja” e a vazão cai pela metade, tudo isso mantendo a mesma perda de carga. Preciso achar a nova rugosidade relativa ε/D do tubo deteriorado.
Conteúdo e o que vamos precisar:
Enunciado resumido: água escoa num tubo inicialmente liso (rugosidade ε=0 mm) com número de Reynolds Re₀=10⁶. Depois de alguns anos, o tubo “enferruja” e a vazão cai pela metade, tudo isso mantendo a mesma perda de carga. Preciso achar a nova rugosidade relativa ε/D do tubo deteriorado.
Conteúdo e o que vamos precisar:
- Equação de Darcy–Weisbach, que relaciona perda de carga h_f, fator de atrito f e velocidade V:
- A ideia de que, para mesma h_f e V reduzido, a gente compara f antes e depois.
- Equação de Colebrook para tubo rugoso:
- Uma fórmula aproximada (Blasius) para tubo liso a Re até 10⁶:
A partir de agora, vamos montar a solução passo a passo — sem pular nada!
Passo 2
Primeiro linkamos a perda de carga com o fator de atrito. Como L, D e g são fixos e h_f é o mesmo antes e depois, temos:
Quando a vazão cai à metade, a velocidade média cai à metade também:
Para manter
constante, precisa compensar a queda de
(que fica ¼ de antes) com um fator de atrito maior:
Passo 3
Agora a gente acha
para o tubo fresco e liso em Re₀=10⁶. Usando Blasius:
Logo
Passo 4
Vamos usar a equação de Colebrook para o estado deteriorado (Re₁, f₁) e extrair ε/D.
- Re₁ = Re₀·(V₁/V₀) = 10⁶·½ = 5×10⁵.
- Plug na Colebrook:
Como e , isso vira - Divide por –2:
- Isola ε/D:
Resposta
A rugosidade relativa do tubo deteriorado é, aproximadamente,