Água escoa em um tubo liso varepsilon=0,0 mm com Re=10^6. Depois de vários anos de uso, observase que a vazão se reduz a metade para mesma perda de carga. Determine o valor da rugosidade relativa varepsilon / D do tubo deteriorado.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e quais ferramentas a gente vai usar.
Enunciado resumido: água escoa num tubo inicialmente liso (rugosidade ε=0 mm) com número de Reynolds Re₀=10⁶. Depois de alguns anos, o tubo “enferruja” e a vazão cai pela metade, tudo isso mantendo a mesma perda de carga. Preciso achar a nova rugosidade relativa ε/D do tubo deteriorado.
Conteúdo e o que vamos precisar:
  • Equação de Darcy–Weisbach, que relaciona perda de carga h_f, fator de atrito f e velocidade V: hf = f,LD,V^22g
  • A ideia de que, para mesma h_f e V reduzido, a gente compara f antes e depois.
  • Equação de Colebrook para tubo rugoso: 1raiz f = -2,log10!l(varepsilon/D3,7 ;+;2,51Re,raiz fr)
  • Uma fórmula aproximada (Blasius) para tubo liso a Re até 10⁶: f0approx0,3164,Re0^-1/4
A partir de agora, vamos montar a solução passo a passo — sem pular nada!

Passo 2

Primeiro linkamos a perda de carga com o fator de atrito. Como L, D e g são fixos e h_f é o mesmo antes e depois, temos:
hf propto f,V^2
Quando a vazão cai à metade, a velocidade média cai à metade também:
V1 = tfrac12,V0
Para manter f1,V1^2 = f0,V0^2 Longrightarrow f1 = f0,V0^2V1^2 = f0,V0^2(V0/2)^2 = 4,f0 constante, precisa compensar a queda de (que fica ¼ de antes) com um fator de atrito maior:

Passo 3

Agora a gente acha f0 approx 0,3164,l(10^6r)^-1/4 = 0,3164times10^-1,5 approx 0,01 para o tubo fresco e liso em Re₀=10⁶. Usando Blasius:
f1 = 4,f0 = 4times0,01 = 0,04
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Passo 4

Vamos usar a equação de Colebrook para o estado deteriorado (Re₁, f₁) e extrair ε/D.
  1. Re₁ = Re₀·(V₁/V₀) = 10⁶·½ = 5×10⁵.
  2. Plug na Colebrook: 1raiz0,04 = -2,log10l(varepsilon/D3,7 + 2,51(5times10^5),raiz0,04r) Como 5 = -2,log10l(varepsilon/D3,7 + 2,51×10^-5r) e log10l(tfracvarepsilon/D3,7+2,51×10^-5r) = -2,5 Longrightarrow varepsilon/D3,7+2,51×10^-5 = 10^-2,5approx0,0031623 , isso vira varepsilonD = 3,7l(0,0031623 - 2,51×10^-5r) = 3,7times0,0031372 approx0,0116
  3. Divide por –2:
  4. Isola ε/D:

Resposta

A rugosidade relativa do tubo deteriorado é, aproximadamente,
boxedvarepsilonD approx 1,16times10^-2

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