Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.

Passo 1

O enunciado pede construir uma caixa sem tampa a partir de uma cartolina de 40,cm por 52,cm, cortando quadrados de lado x nos cantos e dobrando as abas. Vamos usar cálculo de otimização para determinar o valor de x que maximiza o volume da caixa.

Passo 2

As dimensões internas da caixa são: altura x, largura 40 - 2x e comprimento 52 - 2x. Logo, a função volume é
V(x) = x\,(40 - 2x)\,(52 - 2x).

Passo 3

Para que a caixa exista, as dimensões de base devem ser positivas:
40 - 2x > 0,\quad 52 - 2x > 0
o que impõe
0 < x < 20.

Passo 4

Expandindo e derivando V(x):
V(x) = 4x^3 - 184x^2 + 2080x,
V'(x) = 12x^2 - 368x + 2080.

Passo 5

Igualando V'(x)=0 obtemos
12x^2 - 368x + 2080 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 - 92x + 520 = 0,
cuja solução é
x = \frac{46 \pm 2\sqrt{139}}{3}.
Desses dois valores, apenas
x = \frac{46 - 2\sqrt{139}}{3}\approx 7{,}47
está no intervalo (0,20). Além disso, V''(7{,}47)<0, confirmando tratar-se de um máximo.

Resposta

O lado do quadrado que maximiza o volume é
x = \frac{46 - 2\sqrt{139}}{3}\text{ cm}\approx 7{,}47\text{ cm}.

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