Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede construir uma caixa sem tampa a partir de uma cartolina de
,cm por
,cm, cortando quadrados de lado
nos cantos e dobrando as abas. Vamos usar cálculo de otimização para determinar o valor de
que maximiza o volume da caixa.
Passo 2
As dimensões internas da caixa são: altura
, largura
e comprimento
. Logo, a função volume é
Passo 3
Para que a caixa exista, as dimensões de base devem ser positivas:
o que impõe
Passo 4
Expandindo e derivando
:
Passo 5
Igualando
obtemos
cuja solução é
Desses dois valores, apenas
está no intervalo
. Além disso,
, confirmando tratar-se de um máximo.
Resposta
O lado do quadrado que maximiza o volume é