Usando a regra de L’Hospital, calcule:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é o tratamento de forma indeterminada
por L’Hospital, e depois simplificar o quociente das derivadas.
Passo 2
Verificamos a forma indeterminada. Quando
:
e
, logo
.
Portanto o quociente assume a forma
Portanto o quociente assume a forma
o que autoriza aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
- Numerador: .
- Denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Logo o limite fica
Passo 4
Para avaliar
usamos as expansões de Taylor de e
em torno de zero:
usamos as expansões de Taylor de
Substituindo na fração,