Usando a regra de L’Hospital, calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln x}{\ln (1-\cos x)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\ln\bigl(1-\cos x\bigr)}
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo envolvido é o tratamento de forma indeterminada -\infty/ -\infty por L’Hospital, e depois simplificar o quociente das derivadas.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando x\to0^+:
\ln x\to-\infty e 1-\cos x\to0^+, logo \ln(1-\cos x)\to-\infty.
Portanto o quociente assume a forma
\frac{\ln x}{\ln(1-\cos x)}\;=\;\frac{-\infty}{-\infty},
o que autoriza aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
- Numerador: \frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\tfrac1x.
- Denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1-\cos x)\bigr] =\frac{\sin x}{\,1-\cos x\,}.
Logo o limite fica
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\ln(1-\cos x)} =\lim_{x\to0^+} \frac{\tfrac1x}{\tfrac{\sin x}{1-\cos x}} =\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos x}{x\,\sin x}.

Passo 4

Para avaliar
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\,\sin x}
usamos as expansões de Taylor de \cos x e \sin x em torno de zero:
1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}, \qquad \sin x\sim x.
Substituindo na fração,
\frac{1-\cos x}{x\,\sin x} \sim\frac{\tfrac{x^2}{2}}{x\cdot x} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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