A concentração C(t)\left(e m \mathrm{mg} / \mathrm{cm}^{3}\right) de um medicamento no sangue de um paciente, depois de t horas, é dado por C(t)=0,016 t /\left(t^{2}+4 t+4\right). Encontre a máxima concentração e quando ocorre.

Passo 1

O enunciado dá a concentração
C(t)=\frac{0,016\,t}{t^{2}+4t+4}
e pede o valor máximo de C(t) e o instante t em que ocorre. Isto é um problema de otimização de função de uma variável, que vamos resolver usando derivada.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para C(t)=\frac{N(t)}{D(t)} com N(t)=0,016\,t e D(t)=(t+2)^2.
C'(t) =\frac{N'(t)\,D(t)-N(t)\,D'(t)}{[D(t)]^{2}} =\frac{0,016\,(t+2)^2-0,016\,t\cdot 2(t+2)}{(t+2)^4}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos o numerador de C'(t) a zero:
0,016\bigl[(t+2)^2-2t(t+2)\bigr]=0 \;\Longrightarrow\;(t+2)\bigl[(t+2)-2t\bigr]=0 \;\Longrightarrow\;(t+2)(2-t)=0.
Como t\ge0, a solução viável é t=2.

Passo 4

Verificamos que em t<2 a derivada C'(t)>0 e em t>2 temos C'(t)<0, ou seja, C(t) cresce até t=2 e depois decresce, caracterizando um máximo em t=2.

Passo 5

Calculamos a máxima concentração em t=2:
C(2)=\frac{0,016\cdot2}{(2+2)^2} =\frac{0,032}{16} =0,002\quad\text{(mg/cm}^3\text{)}.

Resposta

A máxima concentração é 0,002\,\mathrm{mg/cm^{3}} e ocorre em t=2 horas.

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