Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.

Passo 1

O enunciado nos dá uma folha de cartolina com 40 cm de largura e 52 cm de comprimento. Cortamos um quadrado de lado x em cada canto e dobramos as abas resultantes perpendicularmente, obtendo uma caixa sem tampa. O conteúdo é otimização de uma função de volume em termos de x.

Passo 2

As dimensões da caixa serão:
\text{altura} = x,\quad \text{largura} = 40 - 2x,\quad \text{comprimento} = 52 - 2x.
Assim o volume é
V(x) = x\,(40 - 2x)\,(52 - 2x).
O domínio de x é
0 \le x \le \min\!\bigl(\tfrac{40}{2},\,\tfrac{52}{2}\bigr) = 20.

Passo 3

Vamos expandir e derivar V(x). Primeiro,
(40 - 2x)(52 - 2x) = 2080 - 184x + 4x^2,
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V(x) = x\,(4x^2 - 184x + 2080) = 4x^3 - 184x^2 + 2080x.
A derivada é
V'(x) = 12x^2 - 368x + 2080.

Passo 4

Para encontrar extremos, resolvemos V'(x)=0:
12x^2 - 368x + 2080 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 - 92x + 520 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{92 \pm \sqrt{92^2 - 4\cdot3\cdot520}}{2\cdot3} = \frac{92 \pm \sqrt{8464 - 6240}}{6} = \frac{92 \pm \sqrt{2224}}{6} = \frac{92 \pm 4\sqrt{139}}{6}.
Isso dá duas raízes:
x_1 \approx 7,47,\quad x_2 \approx 23,19.

Passo 5

Como x_2>20 foge do domínio, só x_1\approx7,47 cm é viável. Verificando V''(x) = 24x - 368, temos V''(7{,}47)<0, confirmando máximo.

Resposta

O lado do quadrado que maximiza o volume é aproximadamente 7,47 cm.

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