Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
Passo 1
O enunciado nos dá uma folha de cartolina com
cm de largura e
cm de comprimento. Cortamos um quadrado de lado
em cada canto e dobramos as abas resultantes perpendicularmente, obtendo uma caixa sem tampa. O conteúdo é otimização de uma função de volume em termos de
.
Passo 2
As dimensões da caixa serão:
Assim o volume é
O domínio de
é
Passo 3
Vamos expandir e derivar
. Primeiro,
logo
A derivada é
Passo 4
Para encontrar extremos, resolvemos
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso dá duas raízes:
Passo 5
Como
foge do domínio, só
cm é viável. Verificando
, temos
, confirmando máximo.
Resposta
O lado do quadrado que maximiza o volume é aproximadamente
cm.