Deve-se construir uma caixa retangular, com tampa, de um
e com base quadrada. O material utilizado na caixa custa
10,00$ o metro quadrado.
(a) Construa uma função que descreve o custo do Material empregado em função do lado da base.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.
(a) Construa uma função que descreve o custo do Material empregado em função do lado da base.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa de volume
m
com base quadrada de lado
e altura
, incluindo tampa e fundo, e o custo do material é de R$ 10,00 por metro quadrado. Vamos usar a restrição de volume e a expressão da área da superfície para definir o custo em função de
.
Passo 2
A restrição de volume é
logo
A área total da caixa com tampa e fundo é
Substituindo
,
Como o custo por área é R$ 10,00/m
, a função custo é
Passo 3
Para minimizar
, calculamos a derivada:
Impondo
resulta
Passo 4
Verificamos a segunda derivada:
que em
vale
, garantindo mínimo.
Resposta
(a)
(b) As dimensões que minimizam o custo são