Verifique se a função, ou as funçōes dadas, constituem solução da equação diferencial:
y^{T V}+4 y^{\prime \prime \prime}+3 y=0 ; \quad y_{1}(t)=\frac{t}{3}, \quad y_{2}(t)=e^{-t}+\frac{t}{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções \;y_{1}(t)=\tfrac{t}{3}\; e \;y_{2}(t)=e^{-t}+\tfrac{t}{3}
satisfazem a equação diferencial de quarta ordem de coeficientes constantes
y^{(4)} + 4\,y^{(3)} + 3\,y = 0.
Para isso, vamos calcular todas as derivadas até a quarta ordem de cada função e substituir na equação.

Passo 2

Para y_{1}(t)=\tfrac{t}{3}, as derivadas são
y_{1}'(t)=\tfrac{1}{3},\quad y_{1}''(t)=0,\quad y_{1}'''(t)=0,\quad y_{1}^{(4)}(t)=0.

Passo 3

Substituindo em \;y^{(4)}+4y^{(3)}+3y, temos
0 + 4\cdot 0 + 3\cdot \frac{t}{3} = t \neq 0,
portanto y_{1} não satisfaz a equação.

Passo 4

Para y_{2}(t)=e^{-t}+\tfrac{t}{3}, calculamos
y_{2}'(t) = -e^{-t} + \tfrac{1}{3},\quad y_{2}''(t) = e^{-t},\quad y_{2}'''(t) = -e^{-t},\quad y_{2}^{(4)}(t) = e^{-t}.

Passo 5

Substituindo em \;y^{(4)}+4y^{(3)}+3y, obtemos
e^{-t} + 4(-e^{-t}) + 3\Bigl(e^{-t} + \tfrac{t}{3}\Bigr) = e^{-t} -4e^{-t} +3e^{-t} + t = t \neq 0,
logo y_{2} também não satisfaz a equação.

Resposta

Nenhuma das duas funções é solução da equação diferencial dada.

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