Deve-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha de cartolina de dimensões 50 cm e
, cortando-se um quadrado de lado
em cada um dos cantos da cartolina. Expresse o volume da caixa em função de
. Qual o domínio dessa função? Esboce o gráfico do volume em função de
.
Passo 1
O enunciado dá uma folha retangular de cartolina com dimensões
por
. Em cada canto é recortado um quadrado de lado
e, ao dobrar as abas formadas, obtém‑se uma caixa sem tampa.
O que pede:
O que pede:
- Expressar o volume da caixa em função de
. - Determinar o domínio dessa função (valores de
permitidos). - Esboçar o gráfico de
em função de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Dimensões iniciais da cartolina:
cm e cm. - Lados dos quadrados cortados:
(mesma medida nos quatro cantos). - A altura da caixa será igual a
após dobrar as abas.
Passo 2
Entendendo a geometria (passo a passo e por que as dimensões mudam):
- Ao cortar um quadrado de lado
em cada canto e dobrar as bordas, a altura da caixa será . Expliquei: a aba que sobe tem exatamente a largura do quadrado cortado. - A dimensão da base na direção do lado de
perde duas vezes (um de cada lado), ficando . - Analogamente, na direção do lado de
a base fica com .
Essas igualdades decorrem da simples subtração das duas abas de larguraem cada dimensão.
Passo 3
Fórmula do volume (montando e explicando cada termo):
A fórmula do volume de uma caixa reta sem tampa é sempre
A fórmula do volume de uma caixa reta sem tampa é sempre
Aqui:
- a altura é
; - a área da base é
.
Portanto
Para manipular melhor, pode‑se fatorar constantes:
logo
Se quiser como polinômio expandido:
Cada termo significa:
(altura) vezes a área da base que depende de
.
Passo 4
Determinação do domínio (explicando por que cada desigualdade aparece):
As dimensões da base não podem ser negativas. Logo devemos ter
As dimensões da base não podem ser negativas. Logo devemos ter
além de
porque
é comprimento. Das desigualdades:
A restrição mais forte é
. Juntando com
, o domínio matemático natural é
Observação física: para obter uma caixa com volume estritamente positivo convém
. Os extremos
e
correspondem a degenerações (volume zero).
Passo 5
Zeros da função e fatoração (útil para o esboço):
Da forma fatorada fica claro que as raízes de
são
Da forma fatorada
Somente
e
pertencem ao domínio fechado
;
está fora do domínio. Assim o volume é zero em
e em
.
Passo 6
Estudo de máximos/minimos (para desenhar o pico do gráfico):
Calcule a derivada para achar extremos:
Calcule a derivada para achar extremos:
Resolver
. Dividindo por
(para simplificar os números) obtém‑se a equação quadrática
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são
Numericamente:
Somente
está dentro do domínio
. Para verificar natureza do extremo, compute a segunda derivada:
Em
:
portanto é um máximo local (e como é o único crítico interno do intervalo, é o máximo global em
).
Passo 7
Valor do volume máximo (cálculo aproximado, com passos):
Calcule usando a forma
:
Calcule
(Arredondamento feito para três casas significativas; o valor exato exige manter
sem aproximação.)
Passo 8
Esboço do gráfico e comportamento (como desenhar na prova, passo a passo):
- Eixos: abscissa
em centímetros ( a ), ordenada em . - Pontos importantes:
, , máximo em com . - Sinal da derivada:
(começa subindo); em e em . - Forma geral: curva cúbica positiva no intervalo que sobe desde
, atinge o pico em e cai até em . Ao esboçar, marque os zeros e o ponto de máximo e desenhe uma curva suave que sobe e depois desce entre esses pontos.
Resposta
Domínio:
Gráfico (esboço): começa em