Deve-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha de cartolina de dimensões 50 cm e 76 c m, cortando-se um quadrado de lado x em cada um dos cantos da cartolina. Expresse o volume da caixa em função de x. Qual o domínio dessa função? Esboce o gráfico do volume em função de x.

Passo 1

O enunciado dá uma folha retangular de cartolina com dimensões 50\\ \text{cm} por 76\\ \text{cm}. Em cada canto é recortado um quadrado de lado x e, ao dobrar as abas formadas, obtém‑se uma caixa sem tampa.
O que pede:
  • Expressar o volume da caixa em função de x.
  • Determinar o domínio dessa função (valores de x permitidos).
  • Esboçar o gráfico de V em função de x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Dimensões iniciais da cartolina: 50 cm e 76 cm.
  • Lados dos quadrados cortados: x (mesma medida nos quatro cantos).
  • A altura da caixa será igual a x após dobrar as abas.

Passo 2

Entendendo a geometria (passo a passo e por que as dimensões mudam):
  • Ao cortar um quadrado de lado x em cada canto e dobrar as bordas, a altura da caixa será \,x. Expliquei: a aba que sobe tem exatamente a largura do quadrado cortado.
  • A dimensão da base na direção do lado de 50\\ \text{cm} perde duas vezes x (um x de cada lado), ficando \,50-2x.
  • Analogamente, na direção do lado de 76\\ \text{cm} a base fica com \,76-2x.
    Essas igualdades decorrem da simples subtração das duas abas de largura x em cada dimensão.

Passo 3

Fórmula do volume (montando e explicando cada termo):
A fórmula do volume de uma caixa reta sem tampa é sempre
\text{volume} = \text{(área da base)} \times \text{(altura)}.á
Aqui:
  • a altura é \,x;
  • a área da base é (50-2x)(76-2x).
    Portanto
V(x)=x(50-2x)(76-2x).
Para manipular melhor, pode‑se fatorar constantes:
50-2x = 2(25-x),\qquad 76-2x=2(38-x),
logo
V(x)=x\cdot 2(25-x)\cdot 2(38-x)=4\,x(25-x)(38-x).
Se quiser como polinômio expandido:
V(x)=4x^{3}-252x^{2}+3800x.
Cada termo significa: x (altura) vezes a área da base que depende de x.

Passo 4

Determinação do domínio (explicando por que cada desigualdade aparece):
As dimensões da base não podem ser negativas. Logo devemos ter
50-2x\ge 0 \quad\text{e}\quad 76-2x\ge 0,
além de x\ge 0 porque x é comprimento. Das desigualdades:
50-2x\ge 0 \Rightarrow x\le 25, \qquad 76-2x\ge 0 \Rightarrow x\le 38.
A restrição mais forte é x\le 25. Juntando com x\ge 0, o domínio matemático natural é
0\le x\le 25.
Observação física: para obter uma caixa com volume estritamente positivo convém 0<x<25. Os extremos x=0 e x=25 correspondem a degenerações (volume zero).

Passo 5

Zeros da função e fatoração (útil para o esboço):
Da forma fatorada \,V(x)=4x(25-x)(38-x) fica claro que as raízes de V são
x=0,\quad x=25,\quad x=38.
Somente x=0 e x=25 pertencem ao domínio fechado [0,25]; x=38 está fora do domínio. Assim o volume é zero em x=0 e em x=25.

Passo 6

Estudo de máximos/minimos (para desenhar o pico do gráfico):
Calcule a derivada para achar extremos:
V'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-252x^{2}+3800x\bigr)=12x^{2}-504x+3800.
Resolver V'(x)=0. Dividindo por 4 (para simplificar os números) obtém‑se a equação quadrática
3x^{2}-126x+950=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = 126^{2}-4\cdot 3\cdot 950 = 15876-11400 = 4476.
\sqrt{\Delta}\approx 66,912\quad(\text{aproximadamente}).
As raízes são
x=\frac{126\pm \sqrt{4476}}{6}.
Numericamente:
x_{1}\approx \frac{126-66,912}{6}\approx 9,848, \qquad x_{2}\approx \frac{126+66,912}{6}\approx 32,152.
Somente x_{1}\approx 9,848 está dentro do domínio [0,25]. Para verificar natureza do extremo, compute a segunda derivada:
V''(x)=24x-504.
Em x\approx 9,848:
V''(9,848)=24\cdot 9,848-504\approx -267,65<0,
portanto é um máximo local (e como é o único crítico interno do intervalo, é o máximo global em [0,25]).

Passo 7

Valor do volume máximo (cálculo aproximado, com passos):
Calcule V(9,848) usando a forma V(x)=x(50-2x)(76-2x):
50-2\cdot 9,848 \approx 30,304,\qquad 76-2\cdot 9,848 \approx 56,304.
V(9,848)\approx 9,848\cdot 30,304\cdot 56,304 \approx 16803\\ \text{cm}^{3}\\ (\text{aprox.}).
(Arredondamento feito para três casas significativas; o valor exato exige manter \sqrt{4476} sem aproximação.)

Passo 8

Esboço do gráfico e comportamento (como desenhar na prova, passo a passo):
  • Eixos: abscissa x em centímetros ( 0 a 25), ordenada V em \text{cm}^{3}.
  • Pontos importantes: V(0)=0, V(25)=0, máximo em x\approx 9,848 com V\approx 16803\\ \text{cm}^{3}.
  • Sinal da derivada: V'(0)=3800>0 (começa subindo); V'(x)>0 em (0,9,848) e V'(x)<0 em (9,848,25).
  • Forma geral: curva cúbica positiva no intervalo que sobe desde 0, atinge o pico em x\approx 9,848 e cai até 0 em x=25. Ao esboçar, marque os zeros e o ponto de máximo e desenhe uma curva suave que sobe e depois desce entre esses pontos.

Resposta

V(x)=x(50-2x)(76-2x)=4x(25-x)(38-x)=4x^{3}-252x^{2}+3800x
Domínio: 0\le x\le 25 (para caixa com volume positivo: 0<x<25).
Gráfico (esboço): começa em V(0)=0, cresce até um máximo em x\approx 9,848 com V\approx 16803\\ \text{cm}^{3}, e decresce até V(25)=0; aumenta em (0,9,848) e diminui em (9,848,25).

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