Para cada função
a seguir, determine
tal que
, para todo
.
,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função
tal que
para todo
em
.
Informações fornecidas:
- A função
é dada por . - A condição explícita
indica que . - A tarefa é definir
de modo que, ao aplicar e em seguida , volte-se ao valor original para todo na .
Passo 2
Entendendo o que significa
. Isso quer dizer que
“desfaz” o efeito de
:
é uma função que, aplicada ao valor
, retorna
. Uma maneira padrão de achar
é:
- Introduzir uma variável intermediária
. - Resolver a equação
para em termos de . - Definir
igual à expressão obtida para .
Vou explicar isso passo a passo, porque é a técnica que você pode usar sempre na prova: quando precisar da inversa de uma função, coloque
(aqui
), isole
e depois troque os papéis das variáveis.
Passo 3
Aplicando a técnica ao nosso
: ponha
Agora resolva essa igualdade para
. Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
) e dividindo por
(veremos a restrição em seguida), obtemos
Portanto, a expressão de
em função de
é
. Isso sugere definir
por
Note as restrições: como
só produz valores
diferentes de zero, faz sentido definir
em
. Logo o domínio natural de
, para esta composição, é
.
Passo 4
Fazer uma verificação direta é importante (e dá pontos na prova). Tomando a definição proposta
para
, calcule a composição:
Simplificando a fração complexa:
porque dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. A igualdade vale para todo
, que é exatamente
. Assim a condição
fica satisfeita.
Passo 5
Observação extra (útil na prova): aqui
é uma involução, ou seja,
é a própria inversa de si mesma, pois
também vale para todo
. Portanto uma escolha natural (e a correta) é
, isto é,
com
.