Para cada função g a seguir, determine f tal que f(g(x))=x, para todo x \in \operatorname{Dom}(g).
g(x)=\frac{1}{x}, \operatorname{com} x \neq 0,

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função f tal que
(f\circ g)(x)=f(g(x))=x
para todo x em \operatorname{Dom}(g).
Informações fornecidas:
  • A função g é dada por g(x)=\dfrac{1}{x}.
  • A condição explícita x\neq 0 indica que \operatorname{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
  • A tarefa é definir f de modo que, ao aplicar g e em seguida f, volte-se ao valor original x para todo x na \operatorname{Dom}(g).

Passo 2

Entendendo o que significa f(g(x))=x. Isso quer dizer que f “desfaz” o efeito de g: f é uma função que, aplicada ao valor g(x), retorna x. Uma maneira padrão de achar f é:
  • Introduzir uma variável intermediária y=g(x).
  • Resolver a equação y=g(x) para x em termos de y.
  • Definir f(y) igual à expressão obtida para x.
Vou explicar isso passo a passo, porque é a técnica que você pode usar sempre na prova: quando precisar da inversa de uma função, coloque y=f(x) (aqui y=g(x)), isole x e depois troque os papéis das variáveis.

Passo 3

Aplicando a técnica ao nosso g: ponha
y=g(x)=\dfrac{1}{x}.
Agora resolva essa igualdade para x. Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que x\neq0) e dividindo por y (veremos a restrição em seguida), obtemos
x=\dfrac{1}{y}.
Portanto, a expressão de x em função de y é x=1/y. Isso sugere definir f por
f(y)=\dfrac{1}{y}.
Note as restrições: como g(x)=1/x só produz valores y diferentes de zero, faz sentido definir f em y\neq0. Logo o domínio natural de f, para esta composição, é \{y\in\mathbb{R}\mid y\neq0\}.

Passo 4

Fazer uma verificação direta é importante (e dá pontos na prova). Tomando a definição proposta f(t)=1/t para t\neq0, calcule a composição:
f(g(x)) = f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}.
Simplificando a fração complexa:
\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}} = x,
porque dividir por \dfrac{1}{x} é o mesmo que multiplicar por x. A igualdade vale para todo x\neq0, que é exatamente \operatorname{Dom}(g). Assim a condição f(g(x))=x fica satisfeita.

Passo 5

Observação extra (útil na prova): aqui g é uma involução, ou seja, g é a própria inversa de si mesma, pois g(g(x))=x também vale para todo x\neq0. Portanto uma escolha natural (e a correta) é f=g, isto é, f(x)=1/x com x\neq0.

Resposta

f(x)=\dfrac{1}{x},\quad x\neq 0

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