Verifique as seguintes identidades trigonométricas para quaisquer x, y \in \mathbb{R} :
2 \sin x \sin y=\cos (x-y)-\cos (x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar (mostrar que é verdadeira para quaisquer x,y\in\mathbb{R}) a igualdade
2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y).
Informações dadas:
  • As variáveis x e y são quaisquer números reais.
  • A tarefa é provar que a expressão à esquerda é igual à expressão à direita para todo x,y.

Passo 2

Vamos lembrar duas fórmulas fundamentais de trigonometria que vamos usar: as fórmulas de arco-soma e arco-diferença para o cosseno. Essas fórmulas dizem, para quaisquer angulos a e b,
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.
Explicando: aqui \cos e \sin são as funções trigonométricas cosseno e seno; a e b são quaisquer ângulos (aqui representados por números reais). Essas fórmulas vêm da definição de seno e cosseno no círculo unitário e da decomposição das componentes quando somamos ângulos; no exame é comum já conhecê-las ou aceitá-las como dadas.

Passo 3

Aplique a fórmula de arco-diferença ao par de ângulos x e y. Substituindo a=x e b=y na fórmula correspondente obtemos:
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.

Passo 4

Aplique a fórmula de arco-soma ao par de ângulos x e y. Substituindo a=x e b=y na outra fórmula obtemos:
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.

Passo 5

Agora calcule a diferença \cos(x-y)-\cos(x+y) usando as expressões obtidas nos passos anteriores. Substituindo:
\cos(x-y)-\cos(x+y) =(\cos x\cos y+\sin x\sin y)-(\cos x\cos y-\sin x\sin y).
Agrupando termos e simplificando temos:
\cos x\cos y+\sin x\sin y-\cos x\cos y+\sin x\sin y =2\sin x\sin y.
Note que os termos \cos x\cos y se cancelam e restam duas vezes \sin x\sin y.

Passo 6

A igualdade que acabamos de obter é exatamente a identidade que precisávamos verificar:
\cos(x-y)-\cos(x+y)=2\sin x\sin y.
Portanto a identidade é verdadeira para quaisquer x,y\in\mathbb{R}.

Resposta

2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)

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