Verifique as seguintes identidades trigonométricas para quaisquer
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar (mostrar que é verdadeira para quaisquer
) a igualdade
Informações dadas:
- As variáveis
e são quaisquer números reais. - A tarefa é provar que a expressão à esquerda é igual à expressão à direita para todo
.
Passo 2
Vamos lembrar duas fórmulas fundamentais de trigonometria que vamos usar: as fórmulas de arco-soma e arco-diferença para o cosseno. Essas fórmulas dizem, para quaisquer angulos
e
,
Explicando: aqui
e
são as funções trigonométricas cosseno e seno;
e
são quaisquer ângulos (aqui representados por números reais). Essas fórmulas vêm da definição de seno e cosseno no círculo unitário e da decomposição das componentes quando somamos ângulos; no exame é comum já conhecê-las ou aceitá-las como dadas.
Passo 3
Aplique a fórmula de arco-diferença ao par de ângulos
e
. Substituindo
e
na fórmula correspondente obtemos:
Passo 4
Aplique a fórmula de arco-soma ao par de ângulos
e
. Substituindo
e
na outra fórmula obtemos:
Passo 5
Agora calcule a diferença
usando as expressões obtidas nos passos anteriores. Substituindo:
Agrupando termos e simplificando temos:
Note que os termos
se cancelam e restam duas vezes
.
Passo 6
A igualdade que acabamos de obter é exatamente a identidade que precisávamos verificar:
Portanto a identidade é verdadeira para quaisquer
.