Três refis para uma caneta esferográfica são selecionados aleatoriamente sem reposição de uma caixa que contém 4 refis azuis e 5 de outras cores.
a) Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X , o número de refis azuis selecionados.
b) Calcule a probabilidade de dois refis selecionados serem azuis.
c) Determine o valor esperado do número de refis azuis na amostra.
d) Calcule a probabilidade no numero de refis azuis ser menor que o valor esperado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma caixa com 4 refis azuis e 5 refis de outras cores. Portanto o total de refis é 9.
  • Selecionam-se aleatoriamente 3 refis sem reposição.
    As perguntas pedidas são:
    (a) Determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória X, que é o número de refis azuis selecionados (isto é, as probabilidades P(X=k) para os valores possíveis de k).
    (b) Calcular a probabilidade de dois refis selecionados serem azuis (isto é, P(X=2)).
    (c) Determinar o valor esperado E[X].
    (d) Calcular a probabilidade de o número de refis azuis ser menor que o valor esperado (isto é, P(X < E[X])).

Passo 2

Escolhendo 3 itens sem reposição de uma população finita com K=4 sucessos (azuis) em N=9 itens, a forma correta de contar combinações é por contagem combinatória. Para explicar bem:
  • A notação \binom{n}{k} (lida “n escolhe k”) é o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n sem ordem, e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n.
  • Para obter exatamente k refis azuis na amostra de 3, é preciso escolher k dos 4 azuis e escolher os 3-k restantes dentre os 5 não azuis. O número de escolhas favoráveis é
\binom{4}{k}\cdot\binom{5}{3-k}.
  • O número total de amostras possíveis de 3 refis dentre 9 é
\binom{9}{3}.
Portanto a probabilidade de exatamente k azuis é dada por (fórmula do raciocínio acima):
P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\,\binom{5}{3-k}}{\binom{9}{3}},
para os k que fazem sentido (inteiros com 0\le k\le3 e respeitando limites dos combinatórios).

Passo 3

Calcular o denominador \binom{9}{3} e os combinatórios necessários:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84.
Agora calculamos cada P(X=k) para k=0,1,2,3.
Para k=0:
\binom{4}{0}=1,\qquad \binom{5}{3}=10,
P(X=0)=\frac{1\cdot10}{84}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}\approx0,11905.
Para k=1:
\binom{4}{1}=4,\qquad \binom{5}{2}=10,
P(X=1)=\frac{4\cdot10}{84}=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}\approx0,47619.
Para k=2:
\binom{4}{2}=6,\qquad \binom{5}{1}=5,
P(X=2)=\frac{6\cdot5}{84}=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}\approx0,35714.
Para k=3:
\binom{4}{3}=4,\qquad \binom{5}{0}=1,
P(X=3)=\frac{4\cdot1}{84}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}\approx0,04762.
Verificação rápida (soma das probabilidades):
\frac{10+40+30+4}{84}=\frac{84}{84}=1,
logo está consistente.

Passo 4

Resposta do item (a): já temos a distribuição completa de X listada nos cálculos acima. Aqui está em forma direta (resumo):
P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\,\binom{5}{3-k}}{\binom{9}{3}},\quad k=0,1,2,3,
com os valores numéricos explicitados em passo anterior.

Passo 5

Item (b). A probabilidade de exatamente dois refis serem azuis é P(X=2), que calculamos:
P(X=2)=\frac{5}{14}\approx0,35714.
Breve explicação didática: isso corresponde a escolher 2 dos 4 azuis e 1 dos 5 não azuis, dividido pelo número total de maneiras de escolher 3 refis dentre 9.

Passo 6

Item (c). Valor esperado E[X].
  • Há uma fórmula simples e útil para a esperança da distribuição hipergeométrica: se se escolhem n itens de uma população de tamanho N que contém K sucessos, então
E[X]=n\cdot\frac{K}{N}.
Aqui n=3, K=4, N=9. Logo
E[X]=3\cdot\frac{4}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\approx1,333\ldots
  • Para sentir segurança, pode-se verificar calculando \sum_k k\,P(X=k):
0\cdot\frac{10}{84}+1\cdot\frac{40}{84}+2\cdot\frac{30}{84}+3\cdot\frac{4}{84}=\frac{112}{84}=\frac{4}{3},
coincidindo com a fórmula.

Passo 7

Item (d). Probabilidade de X ser menor que o valor esperado.
  • O valor esperado é E[X]=\tfrac{4}{3}\approx1,333\ldots. Como X só toma valores inteiros, a condição X<E[X] equivale a X\le1 (ou seja, X=0 ou X=1).
  • Portanto
P(X<E[X])=P(X=0)+P(X=1)=\frac{10}{84}+\frac{40}{84}=\frac{50}{84}=\frac{25}{42}\approx0,59524.

Resposta

(a) P(X=k)=\dfrac{\binom{4}{k}\,\binom{5}{3-k}}{\binom{9}{3}} para k=0,1,2,3, com valores numéricos:
P(X=0)=\dfrac{5}{42}\approx0,11905
P(X=1)=\dfrac{10}{21}\approx0,47619
P(X=2)=\dfrac{5}{14}\approx0,35714
P(X=3)=\dfrac{1}{21}\approx0,04762
(b) P(X=2)=\dfrac{5}{14}\approx0,35714
(c) E[X]=\dfrac{4}{3}\approx1,333\ldots
(d) P(X<E[X])=P(X\le1)=\dfrac{25}{42}\approx0,59524

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