Três refis para uma caneta esferográfica são selecionados aleatoriamente sem reposição de uma caixa que contém 4 refis azuis e 5 de outras cores.
a) Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X , o número de refis azuis selecionados.
b) Calcule a probabilidade de dois refis selecionados serem azuis.
c) Determine o valor esperado do número de refis azuis na amostra.
d) Calcule a probabilidade no numero de refis azuis ser menor que o valor esperado.
a) Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X , o número de refis azuis selecionados.
b) Calcule a probabilidade de dois refis selecionados serem azuis.
c) Determine o valor esperado do número de refis azuis na amostra.
d) Calcule a probabilidade no numero de refis azuis ser menor que o valor esperado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma caixa com
refis azuis e refis de outras cores. Portanto o total de refis é . - Selecionam-se aleatoriamente
refis sem reposição.
As perguntas pedidas são:
(a) Determinar a distribuição de probabilidade da variável aleatória, que é o número de refis azuis selecionados (isto é, as probabilidades para os valores possíveis de ).
(b) Calcular a probabilidade de dois refis selecionados serem azuis (isto é,).
(c) Determinar o valor esperado.
(d) Calcular a probabilidade de o número de refis azuis ser menor que o valor esperado (isto é,).
Passo 2
Escolhendo
itens sem reposição de uma população finita com
sucessos (azuis) em
itens, a forma correta de contar combinações é por contagem combinatória. Para explicar bem:
- A notação
(lida “n escolhe k”) é o número de formas de escolher elementos de um conjunto de sem ordem, e vale
onde
é o fatorial de
.
- Para obter exatamente
refis azuis na amostra de , é preciso escolher dos azuis e escolher os restantes dentre os não azuis. O número de escolhas favoráveis é
- O número total de amostras possíveis de
refis dentre é
Portanto a probabilidade de exatamente
azuis é dada por (fórmula do raciocínio acima):
para os
que fazem sentido (inteiros com
e respeitando limites dos combinatórios).
Passo 3
Calcular o denominador
e os combinatórios necessários:
Agora calculamos cada
para
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação rápida (soma das probabilidades):
logo está consistente.
Passo 4
Resposta do item (a): já temos a distribuição completa de
listada nos cálculos acima. Aqui está em forma direta (resumo):
com os valores numéricos explicitados em passo anterior.
Passo 5
Item (b). A probabilidade de exatamente dois refis serem azuis é
, que calculamos:
Breve explicação didática: isso corresponde a escolher
dos
azuis e
dos
não azuis, dividido pelo número total de maneiras de escolher
refis dentre
.
Passo 6
Item (c). Valor esperado
.
- Há uma fórmula simples e útil para a esperança da distribuição hipergeométrica: se se escolhem
itens de uma população de tamanho que contém sucessos, então
Aqui
,
,
. Logo
- Para sentir segurança, pode-se verificar calculando
:
coincidindo com a fórmula.
Passo 7
Item (d). Probabilidade de
ser menor que o valor esperado.
- O valor esperado é
. Como só toma valores inteiros, a condição equivale a (ou seja, ou ). - Portanto
Resposta
(a)
para
, com valores numéricos:
(b)
(c)
(d)