- Estudo de caso: considere um canal convergente pelo qual escoa um fluido incompressível, cuja velocidade na entrada é uniforme e igual a
e a velocidade na saída, também uniforme, é igual a
. A coordenada de dimensão na entrada é de 4 m e a de saída é 2 m (diâmetro). O comprimento do canal é de 5 m . Considerando o escoamento ao longo de uma linha:
(a) Demonstre que esta situação satisfaz a equação da continuidade.
(b) Elabore uma representação para o campo de velocidade total e as componentes u e v.
(a) Demonstre que esta situação satisfaz a equação da continuidade.
(b) Elabore uma representação para o campo de velocidade total e as componentes u e v.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas (vou listar tudo bem certinho para a gente não se perder):
- Velocidade uniforme na entrada:
- Velocidade uniforme na saída:
- Diâmetro na entrada:
- Diâmetro na saída:
- Comprimento do canal:
- O enunciado diz que as coordenadas de dimensão dadas são diâmetros (ou seja, temos um tubo circular que converte do diâmetro
para ).
Perguntas do exercício:
(a) Demonstrar que a situação satisfaz a equação da continuidade.
(b) Elaborar uma representação para o campo de velocidade total e para as componentese .
Observação: vou considerar um escoamento estacionário, incompressível e axisimétrico ao longo do eixodo tubo (com coordenada radial ). Essa escolha é natural dada a menção a diâmetros e às velocidades uniformes nas seções.
Passo 2
Explicando o que é a equação da continuidade (aula rápida, sem medo): para um fluido incompressível e escoamento estacionário, o débito volumétrico
é constante ao longo do tubo. Em palavras: o que entra por segundo tem que sair por segundo. Matematicamente, numa seção transversal circular, o débito é
onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade média (aqui, uniforme) nessa seção. Para uma seção circular de diâmetro
temos
Passo 3
Aplicando isso às seções dadas (dados pegos do enunciado): calculemos
,
e os respectivos débitos
,
.
Cálculo de áreas:
Agora os débitos (velocidade uniforme em cada seção, então
):
Portanto
. Conclusão: os dados numéricos obedecem exatamente à conservação de massa (continuidade). Isso responde (a).
Passo 4
Agora parte (b): representar o campo de velocidade. Primeiro definimos coordenadas e hipóteses explícitas e simples que permitem construir um campo contínuo entre entrada e saída. Definições e hipóteses (explicadas devagar):
- Escolho eixo axial
ao longo do tubo (origem em na entrada, na saída). - Coordenada radial
medida a partir do eixo do tubo; o raio do tubo varia linearmente de em até em . Então definimos:
- Assumo que, para cada seção
constante, o perfil axial de velocidade é aproximadamente uniforme (perfil plug), compatível com os dados que dizem velocidade uniforme nas seções extremas. Essa é uma hipótese simples e comum para construir um campo fácil de manipular e que respeita continuidade. Dito isso, para garantir a continuidade local (equação diferencial), teremos que permitir uma componente radial não nula que representa a convergência do fluido.
Passo 5
Escrevendo o débito
em termos da função
(velocidade axial uniforme em cada seção):
Do passo 3 sabemos que
. Logo
Esta é a expressão da componente axial do campo de velocidade (função somente de
). Observação: em
,
e
; em
,
e
, como mandam os dados.
Passo 6
Agora obtenha a componente radial
usando a equação diferencial de continuidade em coordenadas cilíndricas (escolha natural para um tubo circular). A forma da continuidade (escoamento estacionário e axisimétrico, sem dependência azimutal) é:
onde
é a componente axial e
a componente radial (estou chamando axial de
e radial de
para responder exatamente ao pedido de componentes
e
). Sob a hipótese de perfil plug temos
independente de
. Então
e a equação fica
Integramos em
. Uma solução regular em
é da forma
. Substituindo:
Portanto a continuidade dá
Logo
Passo 7
Calcule explicitamente
usando
e
.
Primeiro a derivada de
:
Agora
. Pela regra da cadeia:
Portanto
Substituindo em
:
Passo 8
Verificação rápida de condição de não-penetração na parede (checar que conseguimos um campo físico): na parede
a velocidade radial devemos ter compatibilidade com a inclinação da parede (a componente normal do fluido em parede estacionária deve ser zero). O lado direito é:
O produto
é
que é exatamente igual a
. Isso mostra que a componente de velocidade resultante é tangente à parede (não há penetração) — ótimo, o campo é consistente.
Passo 9
Juntando tudo: escrevemos o campo de velocidade total em componentes cilíndricas (axial e radial), e também explicito o vetor velocidade.
- Raio local:
- Débito constante (usado acima, do passo (a)):
- Componente axial (que chamamos de
):
- Componente radial (que chamamos de
):
- Campo velocidade vetorial (em componentes cilíndricas):
Essas expressões satisfazem continuidade, respeitam as velocidades médias dadas nas seções e a condição de não-penetração na parede.
Resposta
(a) Sim.
. Logo
e
. Assim
— a continuidade é satisfeita.
(b) Com
:
,
,
ou em forma vetorial
ou em forma vetorial