[Dist Poi] Uma fonte radioativa emite em média cinco partículas alfa num intervalo de 20 minutos … Uma fonte radioativa emite em média cinco partículas alfa num intervalo de 20 minutos. Qual a probabilidade de que num determinado intervalo de 20 minutos haja exatamente duas emissões.
◯ 0,057
◯ 0,916
◯ 0,124
◯ 0,943
◯ 0,084

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação dada: numa janela de tempo de 20 minutos, a fonte radioativa emite, em média, \,5 partículas alfa.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, num intervalo de 20 minutos, ocorram exatamente \,2 emissões?

Passo 2

Por que modelo usar e qual a fórmula que vamos aplicar (explicação passo a passo):
  • Quando contamos o número de ocorrências de eventos raros e independentes em um intervalo fixo de tempo, com uma taxa média conhecida, o modelo adequado é a distribuição de Poisson.
  • Na distribuição de Poisson usamos a variável aleatória X que representa o número de eventos no intervalo; ela depende de um parâmetro \lambda, que é a média (ou taxa) de eventos no intervalo considerado.
  • A função de massa de probabilidade da Poisson é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
onde:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos;
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui \lambda=5);
  • k! (fatorial de k) é o produto 1\cdot2\cdot3\cdots k (por exemplo 2!=2).
  • Aqui, a média dada é \lambda=5 (já no intervalo de 20 minutos), e queremos k=2.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso k=2 e fazer as contas com cuidado:
  • Escrevendo a expressão para k=2:
P(X=2)=e^{-5}\frac{5^{2}}{2!}.
  • Calcular passo a passo:
    • 5^{2}=25.
    • 2!=2.
    • Portanto a expressão fica
    P(X=2)=e^{-5}\cdot\frac{25}{2}= \frac{25}{2}\,e^{-5}=12{,}5\,e^{-5}.
  • Agora precisamos do valor numérico de e^{-5}. Usando o valor conhecido e^{-5}\approx 0{,}006737947,multiplicamos: P(X=2)\approx 12{,}5 \times 0{,}006737947 \approx 0{,}08422434.
  • Arredondando a um nível compatível com as alternativas, obtemos aproximadamente 0{,}084.

Passo 4

Interpretação final e comparação com as alternativas:
  • A probabilidade calculada de exatamente duas emissões em 20 minutos é aproximadamente 0{,}084.
  • Entre as alternativas fornecidas, a que coincide com esse valor é a alternativa com valor 0{,}084.

Resposta

0,084

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