Neste exercício, discutiremos alguns modelos matemáticos para o crescimento populacional. Se
p(t) denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
p^prime(t) / p(t) é chamada de taxa de crescimento populacional no instante
t .
(a) Em 1798, o reverendo anglicano Thomas Malthus propõe um modelo de crescimento populacional no qual a taxa de crescimento é constante igual a
lambda . se a população no instante inicial é
p0 , determine a população em um instante
t qualquer. Este modelo, analisado à longo prazo, corresponde à realidade?
(b) Em 1834, Verhlust e Pearl estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica, propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
N é este número, então a taxa de crescimento populacional é dada, neste modelo é proporcional à
^dag>=r . Determine
t a população em um instante
p(0)=p0 qualquer, sabendo que
^dag>=r .
© Verifique, no modelo de Verhlust o que ocorre com a população quando
N . Esboce o gráfico das solução e mostre que todas elas são crescentes e possuem um ponto de inflexão em
t infty . Estas curvas são chamadas de logísticas. Analise o que significa, na prática, a existência de um ponto de inflexão.
(d) Em 1825, o matemático Benjamim Gompertz, após dedicar-se ao estudo de tabelas de mortalidade no Reino Unido, conclui que a taxa de mortalidade por indivíduo em uma população é proporcional a -
t=N / 2 lambda . Determine a quantidade de indivíduos da população em um instante
e^a t qualquer, sabendo que
t .
(e) Nos anos 1930, o matemático italiano Vito Volterra propoe um modelo de crescimento populacional baseado nas seguintes hipóteses:
i.
p(t)=p0 é a população;
ii. O coefficiente de mortalidade é
p=p(t) e
varepsilon é o número de indivíduos mortos por unidade de tempo;
iii.
varepsilon p e
0 representam o número de machos e de fêmeas, respectivamente;
iv. O número de encontros entre os dois sexos por unidade de tempo é proporcional a
alpha p, beta p ;
v. Se o nascimento de
(alpha p)(beta p)=alpha beta p^2 novos membros da população corresponde a
m encontros, então o número de nascimentos por unidade de tempo é
n .
Este modelo nos conduz à conclusão que
k alpha beta p^2 mn
onde
p^prime=-varepsilon p+k alpha beta p^2 mn=(-varepsilon+lambda p) p, . Encontre uma expressão para a população em um instante
lambda=k alpha beta mn qualquer, sabendo que
t . Qual a impropriedade deste modelo?
(f) A fim de melhorar seu modelo, Volterra supõe que o número de nascimentos por unidade de tempo é, ao invés de
p(0)=p0 , dado por
k alpha beta p^2 mn . Assim, obtemos a equação
k alpha beta p^2 m-rho pn=lambda p-mu p^3 . Admitindo a existência de raízes reais distintas
alpha, beta para o polinômio
-varepsilon+lambda p-mu p^2 , podemos escrever a última equação como
p^prime=-mu(p-alpha)(p-beta) p . Assumindo que
p(0)=p0 , resolva esta última equação e encontre uma expressão para a população em um tempo
t qualquer.