Neste exercício, discutiremos alguns modelos matemáticos para o crescimento populacional. Se p(t) denota determinada população em função do tempo, então a quantidade p^prime(t) / p(t) é chamada de taxa de crescimento populacional no instante t.
(a) Em 1798, o reverendo anglicano Thomas Malthus propõe um modelo de crescimento populacional no qual a taxa de crescimento é constante igual a lambda. se a população no instante inicial é p0, determine a população em um instante t qualquer. Este modelo, analisado à longo prazo, corresponde à realidade?
(b) Em 1834, Verhlust e Pearl estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica, propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se N é este número, então a taxa de crescimento populacional é dada, neste modelo é proporcional à ^dag>=r. Determine t a população em um instante p(0)=p0 qualquer, sabendo que ^dag>=r.
© Verifique, no modelo de Verhlust o que ocorre com a população quando N. Esboce o gráfico das solução e mostre que todas elas são crescentes e possuem um ponto de inflexão em t infty. Estas curvas são chamadas de logísticas. Analise o que significa, na prática, a existência de um ponto de inflexão.
(d) Em 1825, o matemático Benjamim Gompertz, após dedicar-se ao estudo de tabelas de mortalidade no Reino Unido, conclui que a taxa de mortalidade por indivíduo em uma população é proporcional a - t=N / 2 lambda. Determine a quantidade de indivíduos da população em um instante e^a t qualquer, sabendo que t.
(e) Nos anos 1930, o matemático italiano Vito Volterra propoe um modelo de crescimento populacional baseado nas seguintes hipóteses:
i. p(t)=p0 é a população;
ii. O coefficiente de mortalidade é p=p(t) e varepsilon é o número de indivíduos mortos por unidade de tempo;
iii. varepsilon p e 0 representam o número de machos e de fêmeas, respectivamente;
iv. O número de encontros entre os dois sexos por unidade de tempo é proporcional a alpha p, beta p;
v. Se o nascimento de (alpha p)(beta p)=alpha beta p^2 novos membros da população corresponde a m encontros, então o número de nascimentos por unidade de tempo é n.
Este modelo nos conduz à conclusão que
k alpha beta p^2 mn
onde p^prime=-varepsilon p+k alpha beta p^2 mn=(-varepsilon+lambda p) p, . Encontre uma expressão para a população em um instante lambda=k alpha beta mn qualquer, sabendo que t. Qual a impropriedade deste modelo?
(f) A fim de melhorar seu modelo, Volterra supõe que o número de nascimentos por unidade de tempo é, ao invés de p(0)=p0, dado por k alpha beta p^2 mn. Assim, obtemos a equação k alpha beta p^2 m-rho pn=lambda p-mu p^3. Admitindo a existência de raízes reais distintas alpha, beta para o polinômio -varepsilon+lambda p-mu p^2, podemos escrever a última equação como p^prime=-mu(p-alpha)(p-beta) p. Assumindo que p(0)=p0, resolva esta última equação e encontre uma expressão para a população em um tempo t qualquer.

  1. Isso significa, que, à medida em que a população se aproxima de , sua taxa de crescimento diminui, o que é uma hipótese bem razoável.

Passo 1

Resumo do enunciado: Vamos estudar seis modelos de crescimento populacional. Em cada item, temos uma equação diferencial que relaciona p'(t) e p(t), e queremos achar p(t) dado p(0)=p0. Usaremos técnicas de separação de variáveis, integração e análise de comportamento assintótico.

Passo 2

(a) Modelo de Malthus – crescimento exponencial. A hipótese é p'(t)/p(t)=lambda constante. Isso dá a equação diferencial p'=lambda p. Separando variáveis:
dpp=lambda,dt
Integrando de 0 a t:
integralp0^p(t)1p,dp=lambdaintegral0^t1,dtRightarrowlnp(t)p0=lambda t
Logo:
p(t)=p0e^lambda t

Passo 3

Análise da longo prazo: como e^lambda t cresce sem limite, o modelo prevê crescimento infinito, o que na prática não ocorre.

Passo 4

(b) Modelo de Verhulst – crescimento logístico. A hipótese é
p'(t)p(t)=lambdal(1-pNr)Longrightarrow p'=lambda pl(1-pNr)

Passo 5

Separamos variáveis:
dpp(1-p/N)=lambda,dt

Passo 6

Reescrevendo o lado esquerdo em frações parciais:
1p(1-p/N)=1p+1/N1-p/N

Passo 7

Integrando:
integrall(1p+1/N1-p/Nr)dp=lambda t+CRightarrowln p-lnl(1-pNr)=lambda t+C

Passo 8

Definindo C via p(0)=p0, achamos
lnp1-p/N=lambda t+lnp01-p0/NRightarrowp1-p/N=p01-p0/Ne^lambda t

Passo 9

Resolver para p dá a forma clássica:
p(t)=N1+l(N-p0p0r)e^-lambda t

Passo 10

© Comportamento do modelo logístico:
  • limttoinftyp(t)=N, pois o denominador tende a 1.
  • p'(t)>0 para todo t, então é crescente.
  • Ponto de inflexão acontece quando p''(t)=0. Mostra-se que isso ocorre em p=N/2. Chamando tinfl o instante em que p(tinfl)=N/2, obtemos
tinfl=1lambdalnN-p0p0

Passo 11

No gráfico, temos a clássica curva em “S”, que cresce devagar no início, acelera até o inflexão e depois desacelera aproximando-se de N. Na prática, o ponto de inflexão é quando a população cresce com maior velocidade máxima.

Passo 12

(d) Modelo de Gompertz – mortalidade aumenta exponencialmente. A hipótese é
p'(t)p(t)=-k,e^a t, k>0,

Passo 13

ou seja p'= -k e^a tp. Separando:
dpp=-k e^a tdt

Passo 14

Integrando:
ln p=-kae^a t+C

Passo 15

Impondo p(0)=p0 (logo C=ln p0+tfracka), chega-se a
p(t)=p0expl(-tfracka(e^a t-1)r)

Passo 16

(e) Primeiro modelo de Volterra – nascimento proporcional a p^2 e morte proporcional a p. A equação é
p'=(-varepsilon+lambda p)p

Passo 17

Separamos variáveis:
dpp(lambda p-varepsilon)=dt

Passo 18

Em frações parciais:
1p(lambda p-varepsilon)=-1varepsilon1p+lambdavarepsilon1lambda p-varepsilon

Passo 19

Integrando e impondo p(0)=p0, obtemos
p(t)=varepsilonlambda-(lambda-varepsilon/p0)e^varepsilon t

Passo 20

Impropriedade do modelo: o denominador pode anular para algum t, levando p(t) a crescer até infinito em tempo finito.

Passo 21

(f) Modelo aprimorado de Volterra – nascimentos limitados:
p'= -mu,p(p-alpha)(p-beta),

Passo 22

com raízes reais distintas 0. Separando:
dpp(p-alpha)(p-beta)=-mu,dt

Passo 23

Em frações parciais escrevemos
1p(p-alpha)(p-beta)=Ap+Bp-alpha+Cp-beta,

Passo 24

calculamos A=1/(alphabeta), B=1/[alpha(alpha-beta)], C=-1/[beta(alpha-beta)]. Integrando e impondo p(0)=p0, chega-se à solução implícita
p(t)^A(p(t)-alpha)^B(p(t)-beta)^C=p0^A(p0-alpha)^B(p0-beta)^Ce^-mu t

Resposta

(a) p(t)=p_0e^{\lambda t}. Modelo irreal no longo prazo por não ter limite superior.
(b) p(t)=\displaystyle\frac{N}{1+\bigl(\frac{N-p_0}{p_0}\bigr)e^{-\lambda t}}.
© \lim_{t\to\infty}p(t)=N, curva logística em S, ponto de inflexão em t=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N-p_0}{p_0}, onde p=N/2, que indica taxa de crescimento máxima.
(d) p(t)=p_0\exp\bigl(-\tfrac{k}{a}(e^{a t}-1)\bigr).
(e) p(t)=\displaystyle\frac{\varepsilon}{\lambda-(\lambda-\varepsilon/p_0)e^{\varepsilon t}}. Impropriedade: explode em tempo finito.
(f) solução implícita
p(t)^1/(alphabeta)(p(t)-alpha)^1/[alpha(alpha-beta)](p(t)-beta)^-1/[beta(alpha-beta)]=p0^1/(alphabeta)(p0-alpha)^1/[alpha(alpha-beta)](p0-beta)^-1/[beta(alpha-beta)]e^-mu t

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