Neste exercício, discutiremos alguns modelos matemáticos para o crescimento populacional. Se
denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
é chamada de taxa de crescimento populacional no instante
.
(a) Em 1798, o reverendo anglicano Thomas Malthus propõe um modelo de crescimento populacional no qual a taxa de crescimento é constante igual a
. se a população no instante inicial é
, determine a população em um instante
qualquer. Este modelo, analisado à longo prazo, corresponde à realidade?
(b) Em 1834, Verhlust e Pearl estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica, propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
é este número, então a taxa de crescimento populacional é dada, neste modelo é proporcional à
. Determine
a população em um instante
qualquer, sabendo que
.
© Verifique, no modelo de Verhlust o que ocorre com a população quando
. Esboce o gráfico das solução e mostre que todas elas são crescentes e possuem um ponto de inflexão em
. Estas curvas são chamadas de logísticas. Analise o que significa, na prática, a existência de um ponto de inflexão.
(d) Em 1825, o matemático Benjamim Gompertz, após dedicar-se ao estudo de tabelas de mortalidade no Reino Unido, conclui que a taxa de mortalidade por indivíduo em uma população é proporcional a -
. Determine a quantidade de indivíduos da população em um instante
qualquer, sabendo que
.
(e) Nos anos 1930, o matemático italiano Vito Volterra propoe um modelo de crescimento populacional baseado nas seguintes hipóteses:
i.
é a população;
ii. O coefficiente de mortalidade é
e
é o número de indivíduos mortos por unidade de tempo;
iii.
e
representam o número de machos e de fêmeas, respectivamente;
iv. O número de encontros entre os dois sexos por unidade de tempo é proporcional a
;
v. Se o nascimento de
novos membros da população corresponde a
encontros, então o número de nascimentos por unidade de tempo é
.
Este modelo nos conduz à conclusão que
onde
. Encontre uma expressão para a população em um instante
qualquer, sabendo que
. Qual a impropriedade deste modelo?
(f) A fim de melhorar seu modelo, Volterra supõe que o número de nascimentos por unidade de tempo é, ao invés de
, dado por
. Assim, obtemos a equação
. Admitindo a existência de raízes reais distintas
para o polinômio
, podemos escrever a última equação como
. Assumindo que
, resolva esta última equação e encontre uma expressão para a população em um tempo
qualquer.
-
Isso significa, que, à medida em que a população se aproxima de
, sua taxa de crescimento diminui, o que é uma hipótese bem razoável.
(a) Em 1798, o reverendo anglicano Thomas Malthus propõe um modelo de crescimento populacional no qual a taxa de crescimento é constante igual a
(b) Em 1834, Verhlust e Pearl estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica, propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
(d) Em 1825, o matemático Benjamim Gompertz, após dedicar-se ao estudo de tabelas de mortalidade no Reino Unido, conclui que a taxa de mortalidade por indivíduo em uma população é proporcional a -
(e) Nos anos 1930, o matemático italiano Vito Volterra propoe um modelo de crescimento populacional baseado nas seguintes hipóteses:
i.
ii. O coefficiente de mortalidade é
iii.
iv. O número de encontros entre os dois sexos por unidade de tempo é proporcional a
v. Se o nascimento de
Este modelo nos conduz à conclusão que
onde
(f) A fim de melhorar seu modelo, Volterra supõe que o número de nascimentos por unidade de tempo é, ao invés de
Isso significa, que, à medida em que a população se aproxima de , sua taxa de crescimento diminui, o que é uma hipótese bem razoável.
Passo 1
Resumo do enunciado: Vamos estudar seis modelos de crescimento populacional. Em cada item, temos uma equação diferencial que relaciona
e
, e queremos achar
dado
. Usaremos técnicas de separação de variáveis, integração e análise de comportamento assintótico.
Passo 2
(a) Modelo de Malthus – crescimento exponencial. A hipótese é
constante. Isso dá a equação diferencial
. Separando variáveis:
Integrando de 0 a
Logo:
Passo 3
Análise da longo prazo: como
cresce sem limite, o modelo prevê crescimento infinito, o que na prática não ocorre.
Passo 4
(b) Modelo de Verhulst – crescimento logístico. A hipótese é
Passo 5
Separamos variáveis:
Passo 6
Reescrevendo o lado esquerdo em frações parciais:
Passo 7
Integrando:
Passo 8
Definindo
via
, achamos
Passo 9
Resolver para
dá a forma clássica:
Passo 10
© Comportamento do modelo logístico:
-
, pois o denominador tende a 1. -
para todo , então é crescente. - Ponto de inflexão acontece quando
. Mostra-se que isso ocorre em . Chamando o instante em que , obtemos
Passo 11
No gráfico, temos a clássica curva em “S”, que cresce devagar no início, acelera até o inflexão e depois desacelera aproximando-se de
. Na prática, o ponto de inflexão é quando a população cresce com maior velocidade máxima.
Passo 12
(d) Modelo de Gompertz – mortalidade aumenta exponencialmente. A hipótese é
Passo 13
ou seja
. Separando:
Passo 14
Integrando:
Passo 15
Impondo
(logo
), chega-se a
Passo 16
(e) Primeiro modelo de Volterra – nascimento proporcional a
e morte proporcional a
. A equação é
Passo 17
Separamos variáveis:
Passo 18
Em frações parciais:
Passo 19
Integrando e impondo
, obtemos
Passo 20
Impropriedade do modelo: o denominador pode anular para algum
, levando
a crescer até infinito em tempo finito.
Passo 21
(f) Modelo aprimorado de Volterra – nascimentos limitados:
Passo 22
com raízes reais distintas
. Separando:
Passo 23
Em frações parciais escrevemos
Passo 24
calculamos
,
,
. Integrando e impondo
, chega-se à solução implícita
Resposta
(a) p(t)=p_0e^{\lambda t}. Modelo irreal no longo prazo por não ter limite superior.
(b) p(t)=\displaystyle\frac{N}{1+\bigl(\frac{N-p_0}{p_0}\bigr)e^{-\lambda t}}.
© \lim_{t\to\infty}p(t)=N, curva logística em S, ponto de inflexão em t=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N-p_0}{p_0}, onde p=N/2, que indica taxa de crescimento máxima.
(d) p(t)=p_0\exp\bigl(-\tfrac{k}{a}(e^{a t}-1)\bigr).
(e) p(t)=\displaystyle\frac{\varepsilon}{\lambda-(\lambda-\varepsilon/p_0)e^{\varepsilon t}}. Impropriedade: explode em tempo finito.
(f) solução implícita
(b) p(t)=\displaystyle\frac{N}{1+\bigl(\frac{N-p_0}{p_0}\bigr)e^{-\lambda t}}.
© \lim_{t\to\infty}p(t)=N, curva logística em S, ponto de inflexão em t=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N-p_0}{p_0}, onde p=N/2, que indica taxa de crescimento máxima.
(d) p(t)=p_0\exp\bigl(-\tfrac{k}{a}(e^{a t}-1)\bigr).
(e) p(t)=\displaystyle\frac{\varepsilon}{\lambda-(\lambda-\varepsilon/p_0)e^{\varepsilon t}}. Impropriedade: explode em tempo finito.
(f) solução implícita