Consideremos um modelo para o fenômeno de mudança de temperatura de um corpo por perda de calor para o ambiente no qual a temperatura
é uniforme ao longo do corpo e depende unicamente do tempo e a temperatura ambiente
é constante ao longo do tempo e uniforme em todo o ambiente. Além disso, suponhamos que o fluxo de calor através das paredes do corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. (Lei de resfriamento de Newton)
(a) Mostre que
e determine a temperatura em um instante qualquer, assumindo que a temperatura inicial é
.
(b) O que ocorre com a temperatura do corpo quando
?
© A fim de melhorar o modelo descrito no ítem (a), vamos permitir que a temperatura do ambiente varie ao longo do tempo ao receber ou ceder calor ao corpo e mantenhamos as demais hipóteses anteriores. A lei de conservação da quantidade de calor nos diz que
onde
denotam as massas e calores específicos do ambiente e do corpo e
denotam a temperatura ambiente e a temperatura ambiente inicial, respectivamente. Substituindo na equação do ítem (a) a expressão de
retirada da última equação, mostre que
satisfaz a seguinte equação diferencial:
onde
. Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer.
(d) Neste último modelo, o que ocorre com a temperatura quando
?
(a) Mostre que
(b) O que ocorre com a temperatura do corpo quando
© A fim de melhorar o modelo descrito no ítem (a), vamos permitir que a temperatura do ambiente varie ao longo do tempo ao receber ou ceder calor ao corpo e mantenhamos as demais hipóteses anteriores. A lei de conservação da quantidade de calor nos diz que
(d) Neste último modelo, o que ocorre com a temperatura quando
Passo 1
A gente tem um corpo à temperatura uniforme T(t) e um ambiente à temperatura constante T_a. Como a transferência de calor segue a Lei de Newton, a taxa de variação de T é proporcional a (T–T_a), e vamos usar separação de variáveis e método de ED linear.
Passo 2
Pela Lei de Resfriamento de Newton, a equação diferencial fica:
ou seja, a velocidade de resfriamento é −c vezes a diferença de temperaturas.
Passo 3
Para resolver, separamos variáveis:
Integrando,
e exponenciando,
Passo 4
Como t → ∞, temos e^{-c t} → 0, logo T(t) → T_a. Ou seja, a temperatura do corpo tende à do ambiente constante.
Passo 5
No modelo refinado o calor perdido pelo corpo entra no ambiente finito. Pela conservação de energia:
Definindo A =
, resolvemos para T_a(t):
Passo 6
Substituindo T_a(t) em T’ = -c(T - T_a) e isolando T’, obtemos a ODE linear:
Passo 7
Para resolver essa ED linear, o fator integrante é μ(t)=e^{c(1+A)t}. Multiplicando todos os termos e integrando, chegamos a:
Passo 8
Nesse modelo, quando t → ∞ o termo e^{-c(1+A)t} → 0, logo
que é a temperatura de equilíbrio entre corpo e ambiente finito.
Resposta
(a) A equação diferencial é
) e a solução com T(0)=T₀ é
(b) Quando t→∞, T(t)→T_a.
© No modelo refinado surgem A=mc/(m_a c_a) e a ED , cuja solução é
(b) Quando t→∞, T(t)→T_a.
© No modelo refinado surgem A=mc/(m_a c_a) e a ED
(d) Para t→∞, T(t)→(T_{a0}+A T_0)/(1+A).