Consideremos um modelo para o fenômeno de mudança de temperatura de um corpo por perda de calor para o ambiente no qual a temperatura T=T(t) é uniforme ao longo do corpo e depende unicamente do tempo e a temperatura ambiente Ta é constante ao longo do tempo e uniforme em todo o ambiente. Além disso, suponhamos que o fluxo de calor através das paredes do corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. (Lei de resfriamento de Newton)
(a) Mostre que T(0)=T0 e determine a temperatura em um instante qualquer, assumindo que a temperatura inicial é t infty.
(b) O que ocorre com a temperatura do corpo quando m c(T0-T)=ma ca(Ta-Ta, 0) ?
© A fim de melhorar o modelo descrito no ítem (a), vamos permitir que a temperatura do ambiente varie ao longo do tempo ao receber ou ceder calor ao corpo e mantenhamos as demais hipóteses anteriores. A lei de conservação da quantidade de calor nos diz que
m, ma e c, ca
onde Ta= denotam as massas e calores específicos do ambiente e do corpo e Ta(t), Ta, 0=Ta(0) Ta denotam a temperatura ambiente e a temperatura ambiente inicial, respectivamente. Substituindo na equação do ítem (a) a expressão de T=T(t) retirada da última equação, mostre que T^prime+c(1+A) T=c(Ta, 0+A T0), satisfaz a seguinte equação diferencial:
t infty
onde . Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer.
(d) Neste último modelo, o que ocorre com a temperatura quando ?

Passo 1

A gente tem um corpo à temperatura uniforme T(t) e um ambiente à temperatura constante T_a. Como a transferência de calor segue a Lei de Newton, a taxa de variação de T é proporcional a (T–T_a), e vamos usar separação de variáveis e método de ED linear.

Passo 2

Pela Lei de Resfriamento de Newton, a equação diferencial fica:
ou seja, a velocidade de resfriamento é −c vezes a diferença de temperaturas.

Passo 3

Para resolver, separamos variáveis:
dTT - Ta = -c,dt
Integrando,
ln|T - Ta| = -c t + C
e exponenciando,
T(t) = Ta + (T0 - Ta)e^-c t

Passo 4

Como t → ∞, temos e^{-c t} → 0, logo T(t) → T_a. Ou seja, a temperatura do corpo tende à do ambiente constante.

Passo 5

No modelo refinado o calor perdido pelo corpo entra no ambiente finito. Pela conservação de energia:
m c (T0 - T) = ma ca (Ta - Ta0)
Definindo A = m cma ca, resolvemos para T_a(t):

Passo 6

Substituindo T_a(t) em T’ = -c(T - T_a) e isolando T’, obtemos a ODE linear:
T' + c(1 + A),T = cl(Ta0 + A T0r)

Passo 7

Para resolver essa ED linear, o fator integrante é μ(t)=e^{c(1+A)t}. Multiplicando todos os termos e integrando, chegamos a:
T(t) = Ta0 + A T01 + A + T0 - Ta01 + Ae^-c(1 + A)t

Passo 8

Nesse modelo, quando t → ∞ o termo e^{-c(1+A)t} → 0, logo
T(t) → Ta0 + A T01 + A,
que é a temperatura de equilíbrio entre corpo e ambiente finito.

Resposta

(a) A equação dife­rencial é T' = -cl(T - Ta) e a solução com T(0)=T₀ é T(t)=Ta+(T0-Ta)e^-ct
(b) Quando t→∞, T(t)→T_a.
© No modelo refinado surgem A=mc/(m_a c_a) e a ED T'+c(1+A)T=c(Ta0+A T0), cuja solução é T(t)=Ta0+A T01+A+T0-Ta01+Ae^-c(1+A)t
(d) Para t→∞, T(t)→(T_{a0}+A T_0)/(1+A).

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