Exercício 2. Encontre o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(1+\cos (x))^{3 \operatorname{sec} (x)}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \bigl(1+\cos(x)\bigr)^{3\operatorname{sec}(x)}.
Aqui observamos que, quando x\to\frac{\pi}{2}, temos \cos(x)\to0, logo a base 1+\cos(x)\to1 e o expoente 3\operatorname{sec}(x)=\tfrac{3}{\cos(x)}\to\pm\infty. Isso é uma indeterminação do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar logaritmo e calcular o limite do logaritmo da expressão.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \bigl(1+\cos(x)\bigr)^{3\operatorname{sec}(x)}.
Tomando logaritmo,
\ln L = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} 3\operatorname{sec}(x)\,\ln\bigl(1+\cos(x)\bigr) = 3 \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln\bigl(1+\cos(x)\bigr)}{\cos(x)},
pois \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x). Agora faça a mudança t=\cos(x), assim t\to0, e use o fato clássico
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Logo
\ln L = 3\cdot1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad L = e^{3}.

Resposta

e^{3}

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